Блочная сортировка

Если входные элементы подчиняются равномерному закону распределения, то математическое ожидание времени работы алгоритма карманной сортировки является линейным. Это возможно благодаря определенным предположениям о входных данных. При карманной сортировке предполагается, что входные данные равномерно распределены на отрезке [0, 1).

Идея алгоритма заключается в том, чтобы разбить отрезок [0, 1) на n одинаковых отрезков (карманов), и разделить по этим карманам n входных величин. Поскольку входные числа равномерно распределены, предполагается, что в каждый карман попадет небольшое количество чисел. Затем последовательно сортируются числа в карманах. Отсортированный массив получается путём последовательного перечисления элементов каждого кармана.

function bucket-sort(A, n) is
  buckets ← новый массив из n пустых элементов
  for i = 0 to (length(A)-1) do
    вставить A[i] в конец массива buckets[msbits(A[i], k)]
  for i = 0 to n - 1 do
    next-sort(buckets[i])
  return Конкатенация массивов buckets[0], ..., buckets[n-1]

На вход функции bucket-sort подаются сортируемый массив (список, коллекция и т.п.) A и количество блоков - n.

Массив buckets представляет собой массив массивов (массив списков, массив коллекций и т.п.), подходящих по природе к элементам A.

Функция msbits(x,k) тесно связана с количеством блоков - n (возвращает значение от 0 до n), и, в общем случае, возвращает k наиболее значимых битов из x (floor(x/2^(size(x)-k))). В качестве msbits(x,k) могут быть использованы разнообразные функции, подходящие по природе сортируемым данным и позволяющие разбить массив A на n блоков. Например, для символов A-Z это может быть сопоставление номерам букв 0-25, или возврат кода первой буквы (0-255) для ASCII набора символов; для чисел [0, 1) это может быть функция floor(n*A[i]), а для произвольного набора чисел в интервале [a, b) - функция floor(n*(A[i]-a)/(b-a)).

Функция next-sort также реализует алгоритм сортировки для каждого созданного на первом этапе блока. Рекурсивное использование bucket-sort в качестве next-sort превращает данный алгоритм в поразрядную сортировку. В случае n = 2 соответствует быстрой сортировке (хотя и с потенциально плохим выбором опорного элемента).

Оценим сложность алгоритма блочной сортировки для случая, при котором в качестве алгоритма сортировки блоков (next-sort из псевдокода) используется сортировка вставками.

Для оценки сложности алгоритма введём случайную величину n_i, обозначающую количество элементов, которые попадут в карман B[i]. Время работы сортировки вставками равно ${\displaystyle O\left(n^{2}\right)}$.

Время работы алгоритма карманной сортировки равно

${\displaystyle T(n)=\Theta (n)+\sum _{i=0}^{n-1}O(n_{i}^{2})}$

Вычислим математическое ожидание обеих частей равенства:

${\displaystyle M\left(T(n)\right)=M\left(\Theta (n)+\sum _{i=0}^{n-1}O(n_{i}^{2})\right)=\Theta (n)+\sum _{i=0}^{n-1}O\left(M(n_{i}^{2})\right)}$

Найдем величину ${\displaystyle M(n_{i}^{2})}$.

Введем случайную величину ${\displaystyle X_{ij}}$, которая равна 1, если A[j] попадает в i-й карман, и 0 в противном случае:

${\displaystyle n_{i}=\sum _{j=1}^{n}X_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}M\left(n_{i}^{2}\right)=&M\left[\left(\sum _{j=1}^{n}X_{ij}\right)^{2}\right]=M\left[\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}X_{ij}X_{ik}\right]=\\\ &\sum _{j=1}^{n}M\left[X_{ij}^{2}\right]+\sum _{1\leq j\leq n}\ \sum _{1\leq k\leq n,k\neq j}M\left[X_{ij}X_{ik}\right]\end{matrix}}}$

${\displaystyle M\left[X_{ij}^{2}\right]=1\cdot {\frac {1}{n}}+0\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}$

Если k ≠ j, величины X_ij и X_ik независимы, поэтому:

${\displaystyle M\left[X_{ij}X_{ik}\right]=M\left[X_{ij}\right]M\left[X_{ik}\right]={\frac {1}{n^{2}}}}$

Таким образом

${\displaystyle M\left(n_{i}^{2}\right)=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{n}}+\sum _{1\leq j\leq n}\ \sum _{1\leq k\leq n,k\neq j}{\frac {1}{n^{2}}}=2-{\frac {1}{n}}}$

Итак, ожидаемое время работы алгоритма карманной сортировки равно

${\displaystyle \Theta (n)+n\cdot O(2-1/n)=\Theta (n)}$

• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн, Клифорд. Глава 8. Сортировка за линейное время // Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание = Introduction to Algorithms second edition. — М.: «Вильямс», 2005. — С. 230 - 234. — ISBN 5-8459-0857-4.

• Список алгоритмов сортировки

• Визуализатор1 — Java-аплет.
• Визуализатор2 — Java-аплет.