Сортировка пузырьком

Алгоритм состоит из повторяющихся проходов по сортируемому массиву. За каждый проход элементы последовательно сравниваются попарно и, если порядок в паре неверный, выполняется перестановка элементов. Проходы по массиву повторяются ${\displaystyle N-1}$ раз или до тех пор, пока на очередном проходе не окажется, что обмены больше не нужны, что означает — массив отсортирован. При каждом проходе алгоритма по внутреннему циклу, очередной наибольший элемент массива ставится на своё место в конце массива рядом с предыдущим «наибольшим элементом», а наименьший элемент перемещается на одну позицию к началу массива («всплывает» до нужной позиции, как пузырёк в воде — отсюда и название алгоритма).

Сложность: ${\displaystyle O(n^{2})}$.

Наихудший случай:

• Число сравнений в теле цикла равно ${\displaystyle (N-1){\frac {N}{2}}}$.
• Число сравнений в заголовках циклов равно ${\displaystyle (N-1){\frac {N}{2}}}$.
• Суммарное число сравнений равно ${\displaystyle (N-1)N}$.
• Число присваиваний в заголовках циклов равно ${\displaystyle (N-1){\frac {N}{2}}}$.
• Число обменов равно ${\displaystyle (N-1){\frac {N}{2}}}$, что в ${\displaystyle {\frac {N}{2}}}$ раз больше, чем в сортировке выбором.

Наилучший случай (на вход подаётся уже отсортированный массив):

• Число сравнений в теле цикла равно ${\displaystyle (N-1){\frac {N}{2}}}$.
• Число сравнений в заголовках циклов равно ${\displaystyle (N-1){\frac {N}{2}}}$.
• Суммарное число сравнений равно ${\displaystyle (N-1)N}$.
• Число обменов равно ${\displaystyle 0}$.

Особенность данного алгоритма заключается в следующем: после первого завершения внутреннего цикла максимальный элемент массива всегда находится на ${\displaystyle N}$-ой позиции. При втором проходе, следующий по значению максимальный элемент находится на ${\displaystyle N-1}$ месте. И так далее. Таким образом, на каждом следующем проходе число обрабатываемых элементов уменьшается на 1 и нет необходимости «обходить» весь массив от начала до конца каждый раз.

Так как подмассив из одного элемента не нуждается в сортировке, то для сортировки требуется делать не более ${\displaystyle N-1}$ итераций внешнего цикла. Поэтому в некоторых реализациях внешний цикл всегда выполняется ровно ${\displaystyle N-1}$ и не отслеживается, были или не были обмены на каждой итерации.

Введение индикатора (флажка F) действительно произошедших во внутреннем цикле обменов уменьшает число лишних проходов в случаях с частично отсортированными массивами на входе. Перед каждым проходом по внутреннему циклу флажок сбрасывается в 0, а после действительно произошедшего обмена устанавливается в 1. Если после выхода из внутреннего цикла флажок равен 0, то обменов не было, то есть массив отсортирован и можно досрочно выйти из программы сортировки.

Псевдокод ещё более улучшенного алгоритма с проверкой действительно произошедших обменов во внутреннем цикле.

На входе: массив ${\displaystyle A[N]}$, состоящий из ${\displaystyle N}$ элементов, с нумерацией от ${\displaystyle A[0]}$ до ${\displaystyle A[N-1]}$

 ЦИКЛ ДЛЯ J=1 ДО N-1 ШАГ 1                       FOR J=1 TO N-1 STEP 1
   F=0                                             F=0
   ЦИКЛ ДЛЯ I=0 ДО N-1-J ШАГ 1                     FOR I=0 TO N-1-J STEP 1
     ЕСЛИ A[I] > A[I+1] ТО ОБМЕН A[I],A[I+1]:F=1     IF A[I]>A[I+1] THEN SWAP A[I],A[I+1]:F=1
   СЛЕДУЮЩЕЕ I                                     NEXT I
   ЕСЛИ F=0 ТО ВЫХОД ИЗ ЦИКЛА                      IF F=0 THEN EXIT FOR
 СЛЕДУЮЩЕЕ J                                     NEXT J

В случае досрочного выхода из сортировки в этом алгоритме делается один избыточный проход без обменов.

Наихудший случай (не улучшается):

• Число сравнений в теле цикла равно ${\displaystyle (N-1){\frac {N}{2}}}$.
• Число сравнений в заголовках циклов ${\displaystyle (N-1){\frac {N}{2}}}$.
• Суммарное число сравнений равно ${\displaystyle (N-1)N}$.
• Число присваиваний в заголовках циклов равно ${\displaystyle (N-1){\frac {N}{2}}}$.
• Число обменов равно ${\displaystyle (N-1){\frac {N}{2}}}$.

Наилучший случай (улучшается):

• Число сравнений в теле цикла равно ${\displaystyle (N-1)}$.
• Число сравнений в заголовках циклов ${\displaystyle (N-1)}$.
• Суммарное число сравнений равно ${\displaystyle 2(N-1)}$.
• Число обменов равно ${\displaystyle 0}$.

Время сортировки 10000 коротких целых чисел на одном и том же программно-аппаратном комплексе (операция сравнения ≈3.4мкс, обмена ≈2.3мкс) сортировкой выбором составило ≈40сек., ещё более улучшенной сортировкой пузырьком ≈30сек, а быстрой сортировкой ≈0,027сек.

${\displaystyle O(n\cdot n)}$ больше, чем ${\displaystyle O(n\cdot \log n)}$ у сортировки слиянием, но при малых ${\displaystyle n}$ разница не очень большая, а программный код очень прост, поэтому вполне допустимо применение сортировки пузырьком для множества задач с массивами малой размерности на простаивающих и малозагруженных машинах.

Алгоритм можно немного улучшить, сделав следующее:

• Внутренний цикл можно модифицировать так, чтобы он поочерёдно просматривал массив то с начала, то с конца. Модифицированный таким образом алгоритм называется сортировкой перемешиванием или шейкерной сортировкой. Сложность при этом ${\displaystyle O(n\cdot n)}$ не уменьшается.

В сортировке пузырьком, при каждом проходе по внутреннему циклу, можно добавить определение очередного минимального элемента и помещение его в начало массива, то есть объединить алгоритмы сортировки пузырьком и сортировки выбором, при этом число проходов по внутреннему циклу сокращается вдвое, но более чем вдвое увеличивается число сравнений и добавляется один обмен после каждого прохода по внутреннему циклу.

Псевдокод объединённого алгоритма сортировки пузырьком и сортировки выбором (устойчивая реализация):

 FOR J=0 TO N-1 STEP 1
   F=0
   MIN=J
   FOR I=J TO N-1-J STEP 1 
     IF Y[I]>Y[I+1] THEN SWAP Y[I],Y[I+1]:F=1
     IF Y[I]<Y[MIN] THEN MIN=I
   NEXT I
   IF F=0 THEN EXIT FOR
   IF MIN<>J THEN SWAP Y[J],Y[MIN]
 NEXT J

C

Возьмём массив с числами «5 1 4 2 8» и отсортируем значения по возрастанию, используя сортировку пузырьком. Выделены те элементы, которые сравниваются на данном этапе.

Наглядная демонстрация алгоритма.

Первый проход:

(5 1 4 2 8) (1 5 4 2 8), Здесь алгоритм сравнивает два первых элемента и меняет их местами.

(1 5 4 2 8) (1 4 5 2 8), Меняет местами, так как ${\displaystyle 5>4}$

(1 4 5 2 8) (1 4 2 5 8), Меняет местами, так как ${\displaystyle 5>2}$

(1 4 2 5 8) (1 4 2 5 8), Теперь, ввиду того, что элементы стоят на своих местах (${\displaystyle 8>5}$), алгоритм не меняет их местами.

Второй проход:

(1 4 2 5 8) (1 4 2 5 8)

(1 4 2 5 8) (1 2 4 5 8), Меняет местами, так как ${\displaystyle 4>2}$

(1 2 4 5 8) (1 2 4 5 8)

Теперь массив полностью отсортирован, но алгоритму это неизвестно. Поэтому ему необходимо сделать полный проход и определить, что перестановок элементов не было.

Третий проход:

(1 2 4 5 8) (1 2 4 5 8)

(1 2 4 5 8) (1 2 4 5 8)

Теперь массив отсортирован и алгоритм может быть завершён.

Все приведённые реализации алгоритма имеют недостаток: каждый раз во внешнем цикле длина проходимого участка уменьшается на единицу, в то время как следующий проход должен идти до места последнего обмена.

• http://sorting.at/ Анимация алгоритмов сортировки
• Динамическая визуализация 7 алгоритмов сортировки с открытым исходным кодом

• Левитин А. В. Глава 3. Метод грубой силы: Пузырьковая сортировка // Алгоритмы. Введение в разработку и анализ — М.: Вильямс, 2006. — С. 144—146. — 576 с. — ISBN 978-5-8459-0987-9