Аффинно-квадратичная функция

Аффи́нно-квадрати́чная фу́нкция — аналог понятия квадратичная форма для аффинных пространств.

Определение

Пусть далее — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством над полем , характеристика которого не равна .

Через координаты

Функция называется аффинно-квадратичной, если в некотором репере она задаётся при помощи квадратичного многочлена (или многочлена меньшей степени) от координат, то есть

.

В отличие от классического понятия квадратичной функции коеффициентам разрешается быть одновременно нулями. Таким образом, многочлен может быть и линейным, и постоянным.

Через квадратичную форму

Функция называется аффинно-квадратичной, если для некоторой фиксированной точки она задаётся соотношением

,

где , квадратичная форма на , линейная форма на , — фиксированная константа [1].

Через биаффинную функцию

Можно дать определение аналогичное определению квадратичной формы через билинейную форму. Функцию назовём биаффинной, если при фиксированном одном из параметров, функция аффинна, то есть если — аффинные функции. Тогда называется аффинно-квадратичной, если для некоторой биаффинной функции

.[2]

Связь с биаффинными функциями

Согласно третьему определению, любая функция вида , где — биаффинная функция, является аффинно-квадратичной, и любая аффинно-квадратичная функция может быть представлена как , где — некоторая биаффинная функция. Однако для определённой аффинно-квадратичной функции биаффинная функция, определяющая её, определена неоднозначно. Однозначное соответствие можно получить, если дополнительно потребовать симметричность , то есть верно следующее утверждение:

Для любой аффинно-квадратичной функции существует и единственна симметричная биаффинная функция такая, что . Таким образом между афинно-квадратичными функциями и симметричными биаффинными есть взаимооднозначное соответствие.

Через заданную аффинно-квадратичную функцию соответствующая симметричная биаффинная функция может быть выражена следующим образом:

Эта формула называется формулой поляризации (аналогично случаю квадратичных и билинейных форм). Суммы точек с коеффициентами здесь представляют собой аффинную комбинацию.

Все остальные биаффинные функции, определяющие данную аффинно-квадратичную функцию, получаются прибавлением к соответствующей симметричной произвольной антисимметричной биаффинной функции.

Преобразование при смене начала отсчёта

Согласно второму определению, для некоторой точки любую аффинно-квадратичную функцию можно представить в виде , где квадратичная форма на , линейная форма на , — фиксированная константа . Обратно, функция, задаваемая для определённой точки выражением , является аффинно-квадратичной. Точку называют началом отсчёта.

На самом деле аффинно-квадратичная функция для любой точки может быть задана в виде . При этом квадратичная форма для заданной аффинно-квадратичной функции определена однозначно и не зависит даже от выбора точки . Эта форма называется квадратичной частью . Матрица этой формы называется основной матрицей . Эта же матрица, по совместительству, является основной матрицей соответствующей симметричной биаффинной функции. Ранг основной матрицы называется малым рангом аффинно-квадратичной функции.[3]

Форма и константа для заданной точки определены однозначно, однако для разных точек могут отличаться. Форма называется линейной частью относительно точки , а константа постоянной частью относительно точки .[4]

При смене точки линейная и постоянная часть преобразуются следующим образом. Пусть — новая точка, тогда для некоторых и . Эти и выражаются так:

,

где — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме .[5]

Преобразование при смене репера

Согласно первому определению, любую аффинно-квадратичную функцию в некотором репере можно представить в виде квадратичного многочлена (или многочлена меньшей степени) от координат. Верно большее: для любой аффинно-квадратичной функции это можно сделать в любом репере. Обратно, если функция задаётся квадратичным многочленом от координат, то она является аффинно-квадратичной.

Формулу в координатах можно получить из формулы через квадратичную форму. Пусть — репер, — матрица квадратичной части в базисе , — вектор-строка координат линейной части относительно в базисе , — постоянная часть относительно . Тогда:

С использованием понятия расширенной матрицы это выражение может быть записано ещё проще. Расширенной матрицей аффинно-квадратичной функции называется матрица

Тогда

Правило преобразования коеффициентов при переходе к другому реперу также довольно просто записывается через расширенные матрицы. Пусть — матрица перехода от старого базиса к новому, — вектор-столбец координат нового начала отсчёта в старом репере. Тогда

Ранг расширенной матрицы называется большим рангом аффинно-квадратичной функции.

Связанные определения

  • Аффинная квадрика — множество .
  • Аффинно-квадратичные функции и называются аффинно эквивалентными, если существует такое аффинное преобразование , что .
  • Аффинно-квадратичные функции и на метрическом аффинном пространстве называются метрически эквивалентными, если существует такое движение , что .

Центр

Центральной точкой аффинно-квадратичной функции называется такая точка из , что для любого из выполняется . Множесво всех центральных точек называется центром аффинно-квадратичной функцияя[6] (некоторые авторы придерживаются иной терминологии: центрами они называют сами точки, а не их множество.[7] Далее данная статья будет придерживаться первой терминологии).

Если центр непуст, то такая аффинно-квадратичная функция называется центральной, а в противном случае нецентральной.

Точка является центром аффинно-квадратичной функции тогда и только тогда когда линейная часть относительно этой точки тождественно равна [8].

Множество центров аффинно-квадратичной функции в координатах есть решение СЛАУ

Квадратичная часть нецентральной аффинно-квадратичной функции вырождена (следует из предыдущего свойства и теоремы Кронекера — Капелли). Множество центров центральной аффинно-квадратичной функции является аффинным подпространством пространства размерности , а его направляющее подпространство есть . Если квадратичная часть невырождена, то множество центров состоит из одной точки.[6]

Нецентральная аффинно-квадратичная функция имеет хотя бы один нуль (следует из её канонического вида, который будет выведен далее).

Канонический вид

Канонический вид для центральной и нецентральной аффинно-квадратичной функции существенно отличаются друг от друга.

Центральный случай

Для приведения центральной аффинно-квадратичной функции к каноническому виду достаточно взять в качестве начала отсчёта любой из её центров, а в качестве базиса канонический базис для её квадратичной части. Тогда линейная часть обнулится, квадратичная примет канонический вид и аффинно-квадратичная функция примет вид:

, где , все .

Значение от выбора конкретного центра не зависит.

Нецентральный случай

Выберем базис, в котором квадратичная часть имеет канонический вид. Это приведёт аффинно-квадратичную функцию к виду , где , так как квадратичная часть нецентральной аффинно-квадратичной функции вырождена. Если бы , то замена при , при приведёт к виду , где линейная часть тождественно равна нулю, а значит, начало отсчёта является центром. Получается хотя бы один из коэффициэнтов не равен нулю и можно сделать замену при , , при , которая приведёт аффинно-квадратичную функцию к каноническому виду:

, где , все .


Вопрос о единственности канонического вида аффинно-квадратичной функции сводится к вопросу о единственности канонического вида её квадратичной части. Если две аффинно-квадратичные функции имеют одинаковый канонический вид, то они аффинно эквивалентны.[9]

Нормальный вид

Нормальный вид аффинно-квадратичной функции отличается от канонического тем, что квадратичная часть в нём имеет нормальный вид. Пусть , где все — нормальный вид . Тогда нормальный вид :

, где в центральном случае,
, где в нецентральном случае

Конкретный произвол в выборе коэффициэнтов зависит от поля и должен быть рассмотрен в каждом отдельном случае.

Случай

в центральном случае
в нецентральном случае

Случай

, где в центральном случае
, где в нецентральном случае


Нормальный вид аффинно-квадратичной функции единственен. Две аффинно-квадратичные функции имеют одинаковый нормальный вид тогда и только тогда когда они аффинно эквивалентны.[10]

Приведение к главным осям

В евклидовом, унитарном и иных аффинных пространствах, ассоциированных с векторным пространством со скалярным произведением может быть поставлена задача нахождения прямоугольной системы координат, в которой аффинно-квадратичная форма имеет наиболее простой вид. Здесь будет рассмотрена таковая для евклидова пространства.

Центральный случай

В качестве начала отсчёта нужно взять любой центр, а в качестве базиса ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Тогда аффинно-квадратичная функция будет приведена к виду:

, где , все

причём коэффициэнты определены однозначно с точностью до перестановки (это следует из единственности вида квадратичной формы в главных осях).

Нецентральный случай

В нецентральном случае такая прямоугольная система координат, в которой аффинно-квадратичная функция имеет канонический вид, существует не всегда, однако если немного изменить его, то можно получить вид, который существует и единственен для любой функции.
Для приведения к такому виду нужно сначала привести квадратичную часть к главным осям. Получим: .
Затем сделать следующую замену: при , , оставшиеся переменные взять так, чтобы замена была ортогональной (матрицу замены нужно достроить так, чтобы она была ортогональной. Это возможно сделать, так как первые строк уже образуют ортонормированную систему и достаточно просто её достроить до ортонормированного базиса). Окончательный вид получается:

, где , все , .

Такой вид также является единственным с точностью до перестановки коэффициэнтов .


Две аффинно-квадратичных функции метрически эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый вид в главных осях.[11]

Применение

Аффинно-квадратичные функции используются для классификации квадрик. К примеру: с помощью них можно получить стандартную аффинную или метрическую классификацию кривых и поверхностей второго порядка в евклидовом пространстве[12].

См. также

Аффинно-линейная функция

Примечания

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.