Аффинная комбинация

Аффинная комбинация — линейная комбинация заданных векторов ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$,

сумма коэффициентов в которой равна 1, то есть:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1}$.

Операция взятия аффинной комбинации коммутирует с любым аффинным преобразованием ${\displaystyle T}$ в том смысле, что:

${\displaystyle T\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x_{i}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}Tx_{i}}}$.

В частности, любая аффинная комбинация неподвижных точек заданного аффинного преобразования ${\displaystyle T}$ является также неподвижной точкой ${\displaystyle T}$, так что множество неподвижных точек ${\displaystyle T}$ образует аффинное подпространство (в трёхмерном пространстве: прямая или плоскость, а в тривиальных случаях, точка или всё пространство).

Когда стохастическая матрица ${\displaystyle A}$ действует на вектор-столбец ${\displaystyle B}$, результатом будет вектор-столбец, элементы которого являются аффинными комбинациями элементов ${\displaystyle B}$ с коэффициентами из строк матрицы ${\displaystyle A}$.

Специализация понятия — выпуклая комбинация, для которой дополнительно требуется неотрицательность скалярных коэффициентов в линейной комбинации.