Стохастическая матрица

• Матрица ${\displaystyle P=(P_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots }$ называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если

${\displaystyle P_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots }$ и ${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{\infty }P_{ij}=1,\quad \forall i}$.

• Матрица называется стохасти́ческой сле́ва, если

${\displaystyle P_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots }$ и ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }P_{ij}=1,\quad \forall j}$.

• Матрица называется два́жды стохасти́ческой, если она стохастическая справа и слева.

Стохастическая справа матрица является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

• Если ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение ${\displaystyle R=PQ}$ также является матрицей стохастической слева (справа, дважды).

Конечная стохастическая матрица ${\displaystyle P=(P_{ij}),\;i,j=1,\ldots ,N}$ называется регуля́рной, если существует такое ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, что

${\displaystyle p_{ij}^{(n)}>0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,N}$,

где ${\displaystyle p_{ij}^{(n)}}$ — элементы ${\displaystyle n}$-ой степени матрицы ${\displaystyle P}$, то есть ${\displaystyle P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)}$.