Репер (аффинная геометрия)

Репе́р (от фр. repère — знак, исходная точка) или точечный базис (иногда слово «точечный» опускается) аффинного пространства — обобщение понятия базиса для аффинных пространств.

Репер аффинного пространства ${\displaystyle A}$, ассоциированного с векторным пространством ${\displaystyle V}$ размерности ${\displaystyle n}$, представляет собой совокупность точки ${\displaystyle O\in A}$ (начала координат) и упорядоченного набора из ${\displaystyle n}$ линейно независимых векторов ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}\in V}$ (то есть базиса в ${\displaystyle n}$-мерном векторном пространстве ${\displaystyle V}$).[1] Это эквивалентно заданию упорядоченного набора из ${\displaystyle n+1}$ аффинно независимых точек ${\displaystyle O,P_{1},\ldots ,P_{n}\in A}$. В этом случае, очевидно, векторы ${\displaystyle e_{1}={\vec {OP_{1}}},\ldots ,e_{n}={\vec {OP_{n}}}}$.

Координатами точки ${\displaystyle X\in A}$ относительного репера ${\displaystyle (O;e_{1},\ldots ,e_{n})}$ называются координаты вектора ${\displaystyle {\vec {OX}}}$ относительно базиса ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$. Точно так же, как при выборе базиса в векторном пространстве любой вектор этого пространства задается своими координатами, любая точка аффинного пространства задается своими координатами относительного выбранного репера.[1] Если относительно репера ${\displaystyle (O;e_{1},\ldots ,e_{n})}$ точка ${\displaystyle X\in A}$ обладает координатами ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$, а точка ${\displaystyle Y\in A}$ — координатами ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$, то вектор ${\displaystyle {\vec {XY}}}$ имеет относительно базиса ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ координаты ${\displaystyle (y_{1}-x_{1},\ldots ,y_{n}-x_{n}).}$[1]

Репер ${\displaystyle (O;e_{1},\ldots ,e_{n})}$ называется ортогональным (ортонормированным), если соответствующий ему базис ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ является ортогональным (ортонормированным).