Характеристическое число (интегральные уравнения)

Характеристическое число ядра интегрального уравнения — это комплексное значение $\lambda$ , при котором однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

\varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy

имеет нетривиальное (то есть не равное тождественно нулю) решение $\varphi (x)$ , называемое собственной функцией. Здесь $G$ — область в $\mathbb {R} ^{n}$ , $K(x,y)$ — ядро интегрального уравнения. Характеристические числа — это величины, обратные собственным значениям интегрального оператора с ядром $K(x,y)$ [1]. Значения $\lambda$ , не являющиеся характеристическими числами, называются регулярными. Если $\lambda$ — регулярное значение, интегральное уравнение Фредгольма второго рода

\varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy+f(x)

имеет единственное решение при любом свободном члене $f(x)$ ; характеристические числа — это «особые точки», в которых решения не существует или существует бесконечно много решений в зависимости от свободного члена $f(x)$ [2].

Свойства

Характеристические числа непрерывного ядра обладают следующими свойствами:

Множество характеристических чисел счётно и не имеет конечных предельных точек.
Кратностью характеристического числа называется число отвечающих ему линейно независимых собственных функций. Кратность каждого характеристического числа конечна.
Из первых двух свойств вытекает, что характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:

|\lambda _{1}|\leq |\lambda _{2}|\leq \dots ,

повторяя при этом число $\lambda _{k}$ столько раз, какова его кратность.

${\bar {\lambda }}_{1},\,{\bar {\lambda }}_{2},\dots$ — все характеристические числа союзного ядра $K^{*}(x,y)={\overline {K(y,x)}}$ .
Если $\lambda _{k}\neq \lambda _{i}$ и $\varphi _{k}=\lambda _{k}K\varphi _{k}$ , $\psi _{i}={\bar {\lambda }}_{i}K^{*}\psi _{i}$ , то есть $\varphi _{k}$ и $\psi _{i}$ — собственные функции ядер $K(x,y)$ и $K^{*}(x,y)$ соответственно, то $(\varphi _{k},\psi _{i})=0$ — собственные функции ортогональны в пространстве $L_{2}(G)$ .
Повторное ядро $K_{p}(x,y)$ имеет характеристические числа $\lambda _{k}^{p}$ и те же собственные функции $\varphi _{k}$ , что и ядро $K(x,y)$ .
Обратно, если $\mu$ и $\varphi$ — характеристическое число и соответствующая собственная функция повторного ядра $K_{p}(x,y)$ , то по крайней мере один из корней $\lambda _{j},\,j=1,2,\dots ,p,$ уравнения $\lambda ^{p}=\mu$ является характеристическим числом ядра $K(x,y)$ [3].
Множество характеристических чисел эрмитова непрерывного ядра не пусто и расположено на вещественной оси, система собственных функций может быть выбрана ортонормированной[4].
Характеристические числа совпадают с полюсами резольвенты[2].
Вырожденное ядро имеет конечное число характеристических чисел[5].
Непрерывное ядро Вольтерры не имеет характеристических чисел[6].

См. также

Примечания

Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 271.
Краснов М. Л. Интегральные уравнения, 1975, с. 35.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, глава IV, §18, п. 4.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 306.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 292.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 280.

Литература

Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 4-е. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. — 512 с.
Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1975.
Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М.: Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_54fb5cfd2236bf43-1] Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 271.

[_840dd747428094ff-2] Краснов М. Л. Интегральные уравнения, 1975, с. 35.

[_f09aaf2cf27aaf63-3] Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, глава IV, §18, п. 4.

[_54f7f1fd2233d3fc-4] Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 306.

[_54fb5efd2236c2ea-5] Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 292.

[_54fb5ffd2236c4bb-6] Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 280.