Интегральный оператор Фредгольма

Интегральный оператор Фредгольма является линейным, то есть ${\displaystyle A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag}$.

Интегральный оператор с непрерывным на ${\displaystyle {\bar {G}}\times {\bar {G}}}$[6] ядром ${\displaystyle K(x,y)}$, переводит ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ (и, следовательно, ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ и ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle L_{2}(G)}$) и ограничен (непрерывен), причём

${\displaystyle \|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),}$

${\displaystyle \|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G}}),}$

${\displaystyle \|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),}$

где

${\displaystyle M=\max \limits _{x\in {\bar {G}},\,y\in {\bar {G}}}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.}$[7].

Интегральный оператор с ${\displaystyle L_{2}}$-ядром:

${\displaystyle \int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty }$

переводит ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle L_{2}(G)}$, непрерывен и удовлетворяет оценке:

${\displaystyle \|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.}$[1][8]

Существуют условия непрерывности интегральных операторов из ${\displaystyle L_{p}}$ в ${\displaystyle L_{q}}$.[9]

Интегральный оператор с непрерывным ядром ${\displaystyle K(x,y)}$ является вполне непрерывным из ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$, то есть переводит любое множество, ограниченное в ${\displaystyle L_{2}(G)}$, в множество, предкомпактное в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$[10]. Вполне непрерывные операторы замечательны тем, что для них справедлива альтернатива Фредгольма. Интегральный оператор с непрерывным ядром является пределом последовательности конечномерных операторов с вырожденными ядрами. Аналогичные утверждения справедливы для интегрального оператора с ${\displaystyle L_{2}}$-ядром.[11]

Существуют также более слабые достаточные условия вполне непрерывности (компактности) интегрального оператора из ${\displaystyle L_{p}}$ в ${\displaystyle L_{q}}$.[12]