Интегральный оператор Фредгольма

Интегра́льный опера́тор Фредго́льма — вполне непрерывный линейный интегральный оператор вида

отображающий одно пространство функций в другое. Здесь  — область в евклидовом пространстве ,  — функция, заданная на декартовом квадрате , называемая ядром интегрального оператора[1]. Для вполне непрерывности оператора на ядро накладываются дополнительные ограничения. Чаще всего рассматривают непрерывные ядра[2], -ядра[3][4], а также полярные ядра[2][5]. Интегральный оператор Фредгольма и его свойства используются при решении интегрального уравнения Фредгольма.

Свойства

Линейность

Интегральный оператор Фредгольма является линейным, то есть .

Непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным на [6] ядром , переводит в (и, следовательно, в и в ) и ограничен (непрерывен), причём

где

[7].

Интегральный оператор с -ядром:

переводит в , непрерывен и удовлетворяет оценке:

[1][8]

Существуют условия непрерывности интегральных операторов из в .[9]

Вполне непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным ядром является вполне непрерывным из в , то есть переводит любое множество, ограниченное в , в множество, предкомпактное в [10]. Вполне непрерывные операторы замечательны тем, что для них справедлива альтернатива Фредгольма. Интегральный оператор с непрерывным ядром является пределом последовательности конечномерных операторов с вырожденными ядрами. Аналогичные утверждения справедливы для интегрального оператора с -ядром.[11]

Существуют также более слабые достаточные условия вполне непрерывности (компактности) интегрального оператора из в .[12]

Сопряжённый оператор

Сопряжённый оператор к оператору с -ядром в гильбертовом пространстве имеет вид

Если , то интегральный оператор Фредгольма является самосопряжённым[1][11]

Обратный оператор

При достаточно малых значениях оператор (где  — единичный оператор) имеет обратный вида , где  — интегральный оператор Фредгольма с ядром  — резольвентой ядра [13].

См. также

Примечания

Литература

  • Хведелидзе Б. В. . Интегральный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия, 1979.  Т. 2: Д — Коо.  1104 стб. : ил. 150 000 экз.
  • Владимиров В. С. . Уравнения математической физики. 4-е изд. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1981. — 512 с.
  • Трикоми Ф. . Интегральные уравнения. Пер. с англ.. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960.
  • Манжиров А. В., Полянин А. Д. . Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М.: Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. . Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. М., 1976.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.