Функция Мертенса

Используя произведение Эйлера, получаем, что

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod \limits _{p}(1-p^{-s})=\sum \limits _{n=1}^{+\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$

где ${\displaystyle \zeta (s)}$ — это Дзета-функция Римана, а произведение берётся по всем простым p. Тогда, используя ряд Дирихле в правой части с формулой Перрона, мы получаем:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}ds=M(x),}$

где C — замкнутая кривая, окружающая все корни ${\displaystyle \zeta (s).}$

Для обращения используется преобразование Меллина

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}dx,}$

которое сохраняется при ${\displaystyle \Re (s)>1}$.

Из предположения, что существуют только некратные нетривиальные корни ${\displaystyle \zeta (\rho )}$, получается «точная формула» по теореме о вычетах:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}ds=\sum \limits _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.}$

Вейль выдвинул предположение, что функция Мертенса удовлетворяет приближённому функционально-дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {y(x)}{2}}-\sum \limits _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^{2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2}}}du=x^{-1}H(\ln x),}$

где ${\displaystyle H(x)}$ — функция Хевисайда, ${\displaystyle B_{2r}}$ — числа Бернулли, и все производные по t вычисляются при ${\displaystyle t=0}$.

Титчмарш (1960) доказал следующую формулу, включающую сумму с функцией Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в форме

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{+\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\ln n)=\sum \limits _{t}{\frac {h(t)}{\zeta '(1/2+it)}}+2\sum \limits _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}dx,}$

где t в сумме пробегает все мнимые части нетривиальных нулей, а ${\displaystyle (g,h)}$ связаны преобразованием Фурье, так что

${\displaystyle \pi g(x)=\int \limits _{0}^{+\infty }h(u)\cos(ux)du.}$

Другая формула для функции Мертенса

${\displaystyle M(n)=\sum \limits _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ — последовательность Фарея порядка n.

Эта формула используется в доказательстве теореме Франеля Ландау[2].

${\displaystyle M(n)}$ равна определителю (0,1)-матрицы Редхеффера порядка ${\displaystyle n}$, в которой ${\displaystyle a_{ij}=1}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle j=1}$ или ${\displaystyle i\mid j}$.

Матрица Редхеффера возникает при решении следующей системы линейных уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=1\\x_{2}+x_{4}+\dots +x_{2[n/2]}=1\\x_{3}+x_{6}+\dots +x_{3[n/3]}=1\\\dots \\\sum \limits _{k\leqslant n,\,d|k}x_{k}=1\\\dots \\\end{cases}}}$

Матрица системы имеет треугольный вид, на главной диагонали у неё стоят единицы, поэтому определитель системы равен единице и решение системы существует и единственно.

Решением системы являются числа ${\displaystyle x_{1}=M(n),\,x_{2}=M(n/2),\,x_{3}=M(n/3),\,\dots ,\,x_{k}=M(n/k),\,\dots ,\,x_{n}=M(n/n)=1,}$ в силу характеристического свойства функции Мертенса: ${\displaystyle \sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)=1}$

Решая систему по правилу Крамера, и учитывая, что определитель системы равен 1, получаем, что ${\displaystyle x_{1}}$, равный ${\displaystyle M(n)}$, равен определителю матрицы, полученной из матрицы системы заменой первого столбца на столбец из единиц, а это и есть матрица Редхеффера порядка ${\displaystyle n}$.