Тождество Капелли

При рассмотрении частного случая m = 1 имеем x_i1, который будем сокращённо записывать как x_i:

${\displaystyle E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}$

В частности, для многочленов первой степени видно, что:

${\displaystyle E_{ij}x_{k}=\delta _{jk}x_{i}}$.

Поэтому действие ${\displaystyle E_{ij}}$ ограничивается пространством многочленов первой степени точно так же, как действие матричных единиц ${\displaystyle e_{ij}}$ на векторах в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Таким образом, с точки зрения теории представления, подпространство многочленов первой степени это подпредставление алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$, которое мы отождествляем с стандартным представлением в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Далее видно, что дифференциальные операторы ${\displaystyle E_{ij}}$ сохраняют степень многочленов, и следовательно многочлены каждой фиксированной степени образуют подпредставление алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$. Видно также, что пространство однородных многочленов степени k может быть определено симметричным тензором степени ${\displaystyle S^{k}\mathbb {C} ^{n}}$ стандартного представления ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

Также может быть определена структура максимального веса этих представлений. Одночлен ${\displaystyle x_{1}^{k}}$ — это вектор максимального веса. Действительно, ${\displaystyle E_{ij}x_{1}^{k}=0}$ для i < j. Его максимальный вес равен (k, 0, … ,0), потому что ${\displaystyle E_{ii}x_{1}^{k}=k\delta _{i1}x_{1}^{k}}$.

Это представление иногда называют бозонным преставлением ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$. Аналогичные формулы ${\displaystyle E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}}$ определяют так называемое фермионное представление, где ${\displaystyle \psi _{i}}$ —антикоммутативные переменные. Снова, многочлены степени k образуют неприводимое подпредставление, изоморфное ${\displaystyle \Lambda ^{k}\mathbb {C} ^{n}}$, то есть антисимметричный тензор степени ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Максимальный вес такого представления (0, …, 0, 1, 0, …, 0). Эти представления при k = 1, …, n являются фундаментальными представлениями ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$.

Вернёмся к тождеству Капелли. Можно доказать следующее:

${\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=0,\qquad n>1}$.

Основная мотивация для этого равенства следующая: рассмотрим ${\displaystyle E_{ij}^{c}=x_{i}p_{j}}$ для некоторых коммутирующий переменных ${\displaystyle x_{i},p_{j}}$. Матрица ${\displaystyle E^{c}}$ имеет ранг 1 и, следовательно, её определитель равен нулю. Элементы матрицы ${\displaystyle E}$ определены аналогичными формулами, однако, её элементы не коммутируют. Тождество Капелли показывает, что коммутативное тождество ${\displaystyle \det(E^{c})=0}$ может быть сохранено при введении поправок ${\displaystyle (n-i)\delta _{ij}}$ к матрице ${\displaystyle E}$.

Отметим также, что подобное тождество для характеристического многочлена:

${\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\mathrm {Tr} (E)t^{[n-1]},}$

где ${\displaystyle t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1)}$. Это некоммутативный аналог простого факта, что характеристический многочлен матрицы ранга 1 содержит только первые и вторые коэффициенты.

Рассмотрим пример для n = 2.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}t+x_{1}\partial _{1}+1&x_{1}\partial _{2}\\x_{2}\partial _{1}&t+x_{2}\partial _{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=(t+x_{1}\partial _{1}+1)(t+x_{2}\partial _{2})-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\\[6pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{1}\partial _{1}x_{2}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\end{aligned}}}$

Используя

${\displaystyle \partial _{1}x_{1}=x_{1}\partial _{1}+1,\partial _{1}x_{2}=x_{2}\partial _{1},x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}}$

мы видим что это равно:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{2}\\[8pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})=t^{[2]}+t\,\mathrm {Tr} (E).\end{aligned}}}$

Интересным свойством определителя Капелли является то, что он коммутирует со всеми операторами E_ij, то есть, коммутаторы ${\displaystyle [E_{ij},\det(E+(n-i)\delta _{ij})]}$ равны нулю.

Это утверждение может быть обобщено следующим образом. Рассмотрим любые элементы E_ij в любом кольце, удовлетворяющие соотношению на коммутатор ${\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}}$, (например, они могут быть дифференциальными операторами, как указано выше, матричными единицами e_ij или любыми другими элементами). Определим элементы C_k следующим образом:

${\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}C_{k},}$

где ${\displaystyle t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1),}$

тогда:

• элементы C_k коммутируют со всем элементами E_ij
• элементы C_k могут быть представлены формулами, аналогичным коммутативному случаю:

${\displaystyle C_{k}=\sum _{I=(i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}\det(E+(k-i)\delta _{ij})_{II},}$

то есть они являются суммами главных миноров матрицы E, по модулю поправок Капелли ${\displaystyle +(k-i)\delta _{ij}}$. В частности, элемент C₀ является определителем Капелли, рассмотренным выше.

Эти утверждения взаимосвязаны с тождеством Капелли, как будет показано ниже, и судя по всему, для них также не существует прямого короткого доказательства, несмотря на простоту формулировок.

Универсальная обёртывающая алгебра ${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}$ может быть определена как алгебра, генерируемая E_ij связанными только соотношениями

${\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}}$.

Утверждение выше показывает, что элементы C_k принадлежат центру ${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}$. Более того можно доказать, что они — свободные генераторы центра ${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}$. Иногда они называются генераторами Капелли. Тождества Капелли для них будут рассмотрены ниже.

Рассмотрим пример при n = 2.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\quad {\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}&=(t+E_{11}+1)(t+E_{22})-E_{21}E_{12}\\&=t(t+1)+t(E_{11}+E_{22})+E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}.\end{aligned}}}$

Непосредственно проверяется, что элемент ${\displaystyle (E_{11}+E_{22})}$ коммутирует с ${\displaystyle E_{ij}}$. (Это соответствует очевидному факту, что матрица тождества коммутирует со всеми другими матрицами). Более поучительной является проверка коммутативности второго элемента с ${\displaystyle E_{ij}}$. Проведём её для ${\displaystyle E_{12}}$:

${\displaystyle [E_{12},E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]}$

${\displaystyle =[E_{12},E_{11}]E_{22}+E_{11}[E_{12},E_{22}]-[E_{12},E_{21}]E_{12}-E_{21}[E_{12},E_{12}]+[E_{12},E_{22}]}$

${\displaystyle =-E_{12}E_{22}+E_{11}E_{12}-(E_{11}-E_{22})E_{12}-0+E_{12}}$

${\displaystyle =-E_{12}E_{22}+E_{22}E_{12}+E_{12}=-E_{12}+E_{12}=0.}$

Мы видим, что наивный определитель ${\displaystyle E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}}$ не коммутирует с ${\displaystyle E_{12}}$ и поправка Капелли ${\displaystyle +E_{22}}$ существенна для принадлежности центру.

Вернемся к общему случаю:

${\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}},}$

для произвольных n и m. Определение операторов E_ij можно записать в матричном виде: ${\displaystyle E=XD^{t}}$, где ${\displaystyle E}$ это ${\displaystyle n\times n}$ матрица с элементами ${\displaystyle E_{ij}}$; ${\displaystyle X}$ это ${\displaystyle n\times m}$ матрица с элементами ${\displaystyle x_{ij}}$; ${\displaystyle D}$ это ${\displaystyle n\times m}$ матрица с элементами ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}}$.

Для произвольного m матрица E является произведением двух прямоугольных матриц: X и транспонированой к D. Если бы все элементы этих матриц коммутировали бы, тогда определитель матрицы E может быть выражен так называемой формулой Бине — Коши] через миноры X и D. Аналогичная формула существует и для матрицы E снова за небольшую плату введения поправки ${\displaystyle E\rightarrow (E+(n-i)\delta _{ij})}$:

${\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\leq m)}\det(X_{I})\det(D_{I}^{t})}$,

В частности (подобно коммутативному случаю): если m<n, то ${\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=0}$; в случае m=n мы возвращаемся к тождеству выше.

Заметим, что подобно коммутативному случаю, можно выразить не только определитель чE, но и его миноры через миноры X и D:

${\displaystyle \det(E+(s-i)\delta _{ij})_{KL}=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{s}\leq m)}\det(X_{KI})\det(D_{IL}^{t})}$,

Здесь K = (k₁ < k₂ < … < k_s), L = (l₁ < l₂ < … < l_s) — произвольные мульти-индексы; как обычно ${\displaystyle M_{KL}}$ обозначает подматрицу M образуемую элементами M _kalb. Обратите внимание, что поправка Капелли теперь содержит s, а не n как в предыдущей формуле. Заметим, что для s=1, поправка(s − i) исчезает и мы получаем просто определение E как произведение X и транспозиции D. Заметим также, что для произвольных K, L соответствующие миноры не коммутируют со всеми элементами E_ij, так что тождество Капелли существует не только для центральных элементов.

В качестве следствия из этой формулы и формулы для характеристичного многочлена из предыдущего раздела упомянем следующее:

${\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}\sum _{I,J}\det(X_{IJ})\det(D_{JI}^{t}),}$

где ${\displaystyle I=(1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n),}$ ${\displaystyle J=(1\leq j_{1}<\cdots <j_{k}\leq n)}$. Эта формула аналогична коммутативному случаю, за исключением поправки ${\displaystyle +(n-i)\delta _{ij}}$ в левой части и замены tⁿ на t^[n] в правой.

Современный интерес к этим группам возник, благодаря Роджеру Хоуву, который рассмотрел их в своей теории дуальных пар. В случае первого ознакомления с этими идеями имеем дело с операторами ${\displaystyle E_{ij}}$. Такие операторы сохраняют степень многочленов. Рассмотрим многочлены первой степени: ${\displaystyle E_{ij}x_{kl}=x_{il}\delta _{jk}}$, мы видим что индекс l сохраняется. С точки зрения теории представлений многочлены первой степени могут быть отождествлены с прямым сложением представлений ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}}$, здесь l-ое подпространство (l=1…m) натянуто на ${\displaystyle x_{il}}$, i = 1, …, n. Посмотрим ещё раз на векторное пространство:

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}.}$

Такая точка зрения даёт первый намёк на симметрию между m и n. Чтобы взглянуть на эту идею глубже, рассмотрим:

${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}=\sum _{a=1}^{n}x_{ai}{\frac {\partial }{\partial x_{aj}}}.}$

Эти операторы задаются теми же формулами, что и ${\displaystyle E_{ij}}$ за исключением перенумерации ${\displaystyle i\leftrightarrow j}$, следовательно, по тем же самыми аргументами, мы можем заключить, что ${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$ задаёт представление алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{m}}$ в векторном пространстве многочленов x_ij. Прежде, чем идти дальше, обратим внимание на следующее свойство: дифференциальные операторы ${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$ коммутируют с дифференциальными операторами ${\displaystyle E_{kl}}$.

Группа Ли ${\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}$ действует на векторном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}}$ естественным образом. Можно показать, что соответствующее действие алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}\times {\mathfrak {gl}}_{m}}$ задается дифференциальными операторами ${\displaystyle E_{ij}}$ и ${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$ соответственно. Это объясняет коммутативность этих операторов.

Более того, справедливы следующие свойства:

• Дифференциальными операторами, коммутирующими с ${\displaystyle E_{ij}}$, являются все многочлены в ${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$, и только они.
• Разложение векторного пространства многочленов в прямую сумму тензорных произведений неприводимых представлений ${\displaystyle GL_{n}}$ and ${\displaystyle GL_{m}}$ может быть задано следующим образом:

${\displaystyle \mathbb {C} [x_{ij}]=S(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m})=\sum _{D}\rho _{n}^{D}\otimes \rho _{m}^{D'}.}$

Здесь слагаемые индексируются диаграммой Юнга D, а представления ${\displaystyle \rho ^{D}}$ взаимно неизоморфны. Диаграмма ${\displaystyle {D}}$ определяет ${\displaystyle {D'}}$ и наоборот.

• В частности представление большой группы ${\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}$ такого, что каждое неприводимое представление входит только один раз.

Легко заметить сильное сходство с дуальностью Шура-Вейла

Рассмотрим симметричные матрицы

${\displaystyle X={\begin{vmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\x_{12}&x_{22}&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\x_{13}&x_{23}&x_{33}&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1n}&x_{2n}&x_{3n}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}2{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{22}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{33}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &2{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}}$

Герберт Тёрнбулл[7] в 1948 году открыл следующее равенство:

${\displaystyle \det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D)}$

Комбинаторное доказательство можно найти в работе,[6] ещё одно доказательство и интересные^{[уточнить]} обобщения в работе,[5] см. также обсуждение ниже.

Рассмотрим антисимметричные матрицы

${\displaystyle X={\begin{vmatrix}0&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\-x_{12}&0&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\-x_{13}&-x_{23}&0&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-x_{1n}&-x_{2n}&-x_{3n}&\cdots &0\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&0&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&0&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &0\end{vmatrix}}.}$

Тогда

${\displaystyle \det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D).}$

Рассмотрим две матрицы М и Y над некоторым ассоциативным кольцом, которые удовлетворяет условию

${\displaystyle [M_{ij},Y_{kl}]=-\delta _{jk}Q_{il}}$

для некоторых элементов Q_il. Иными словами элементы в j-ой столбце M коммутирует с элементами k-го ряда Y когда ${\displaystyle j\neq k}$, а в случае, когда ${\displaystyle j=k}$, коммутатор элементов M_ik и Y_kl зависит только от i, l, но не от k.

Предположим, что M это матрица Манина (простейшим примером является матрица с коммутирующими элементами).

Тогда для случая квадратной матрицы

${\displaystyle \det(MY+Q\,\mathrm {diag} (n-1,n-2,\dots ,1,0))=\det(M)\det(Y)}$

Здесь Q это матрица с элементами Q_il, и diag(n − 1, n − 2, …, 1, 0) означает диагональную матрицу с элементами n − 1, n − 2, …, 1, 0 на диагонали.

См.[5] предложение 1.2' формула (1.15) стр. 4, наша Y это транспозиция к их B.

Очевидно, оригинальное тождество Каппели — частный случай этого тождества. Кроме того, из этого тождества видно, что в первоначальном тождестве Каппели можно рассмотреть элементы

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}+f_{ij}(x_{11},\dots ,x_{kl},\dots )}$

для произвольных функций f_ij и тождество продолжает оставаться верным.

Рассмотрим матрицы X и D как в тождестве Капелли, то есть с элементами ${\displaystyle x_{ij}}$ и ${\displaystyle \partial _{ij}}$ на позиции (ij).

Пусть z — другая формальная переменная (коммутирующая с x). Пусть A и B — некоторые матрицы, элементы которых комплексные числа.

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-A-X{\frac {1}{z-B}}D^{t}\right)}$

${\displaystyle ={\det }_{{\text{Поместить все }}x{\text{ и }}z{\text{ слева, в то время как все дифференцирования справа}}}^{\text{рассчитать, как будто все коммутируют}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-A-X{\frac {1}{z-B}}D^{t}\right)}$

Здесь первый определитель следует понимать, как всегда, как определитель по столбцам матрицы с некоммутативными записями. Второй определитель должен быть вычислен, помещающая (как будто все элементы коммутативны) все x и z слева, а все дифференцирования справа (такой рецепт называется нормальным порядком в квантовой механике).

Матрица

${\displaystyle L(z)=A+X{\frac {1}{z-B}}D^{t}}$

это матрица Лакса для квантовой интегрируемой системы спиновая цепочка^{[неизвестный термин]} Годена. Д. Талалаев решил давнюю проблему явного решения для полного набора законов сохранения квантового коммутирования в модели Годена, открыв следующую теорему.

Положим

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-L(z)\right)=\sum _{i=0}^{n}H_{i}(z)\left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}\right)^{i}.}$

Тогда для всех i, j, z, w

${\displaystyle [H_{i}(z),H_{j}(w)]=0,}$

то есть H_i(z) генерируют функции от z для дифференциальных операторов от x, которые все коммутируют. Так что они дают законы сохранения квантового коммутирования в модели Годена.

Оригинальное тождество Капелли является утверждением об определителях. Позже аналогичные тождества были найдены для перманентов, имманентов и следа матрицы. Основанная на комбинаторном подходе, статья С. Г. Уильямсона[26] была один из первых результатов в этом направлении.

Рассмотрим антисимметричные матрицы X и D с элементами x_ij и соответствующими производными, как в случае Хоув-Умеда-Констант-Сахи выше.

Тогда

${\displaystyle \mathrm {perm} (X^{t}D-(n-i)\delta _{ij})=\mathrm {perm} _{{\text{Поместить все }}x{\text{ слева, в то время как все дифференцирования справа}}}^{\text{рассчитать, как будто все коммутируют}}(X^{t}D).}$

Процитируем:[6] «…говорится без доказательства в конце работы Тёрнбулла». Сами авторы следуют Тёрнбуллу — в самом конце их работы они пишут:

«Так как доказательство этого последнего тождества очень похоже на доказательства симметричного аналога Тёрнбулла (с небольшим отклонением), мы оставляем его в качестве поучительного и приятного упражнения для читателя».

Это равенство анализируется в работе[27].