Теорема Шура — Зассенхауса

Теорему Шура — Зассенхауса выдвинул Ганс Зассенхаус[1]. Теорема 25, которую он приписывает Исаю Шуру, доказывает существование дополнения подгруппы, а теорема 27 доказывает, что все дополнения смежны при предположении, что N или G/N разрешима. Нелегко найти явное утверждение существования дополнения в опубликованных работах Шура, хотя из результатов Шура[2][3] о мультипликаторах Шура вытекает существование дополнения в специальном случае, когда нормальная подгруппа является центром. Зассенхаус указал на то, что теорема Шура — Зассенхауса для неразрешимых групп была бы верна, если бы все группы нечётного порядка были разрешимы, что позднее доказали Фейт и Томпсон. Эрнст Витт показал, что это следовало бы также из гипотезы Шрайера[4], но гипотеза Шрайера была доказана с использованием классификации конечных простых групп, которая существенно сложнее теоремы Фейт-Томпсона.

Если мы не накладываем условие взаимной простоты, теорема становится неверной. Рассмотрим, например, циклическую группу ${\displaystyle C_{4}}$ и её нормальную подгруппу ${\displaystyle C_{2}}$. Тогда, если бы ${\displaystyle C_{4}/C_{2}}$ была полупрямым произведением ${\displaystyle C_{2}}$ и ${\displaystyle C_{4}/C_{2}\cong C_{2}}$, то ${\displaystyle C_{4}}$ должна была бы содержать два элемента порядка 2, но она содержит только один элемент. Другой способ показать невозможность расщепления ${\displaystyle C_{4}}$ (то есть выражения группы в виде полупрямого произведения), это наблюдение, что автоморфизмы группы ${\displaystyle C_{2}}$ являются тривиальной группой, так что единственно возможное [полу]прямое произведение группы ${\displaystyle C_{2}}$ на себя, это прямое произведение (которое даёт четверную группу Клейна, группу, которая не изоморфна ${\displaystyle C_{4}}$).

Пример случая, когда теорема Шура — Зассенхауса применима, это симметрическая группа из 3 символов, ${\displaystyle S_{3}}$, которая имеет нормальную подгруппу порядка 3 (изоморфную ${\displaystyle C_{3}}$), которая, в свою очередь, имеет индекс 2 в ${\displaystyle S_{3}}$ (что согласуется с теоремой Лагранжа), так что ${\displaystyle S_{3}/C_{3}\cong C_{2}}$. Поскольку 2 и 3 взаимно просты, теорема Шура — Зассенхауса применима и ${\displaystyle S_{3}\cong C_{3}\rtimes C_{2}}$. Заметим, что группа автоморфизмов группы ${\displaystyle C_{3}}$ равна ${\displaystyle C_{2}}$ и автоморфизм группы ${\displaystyle C_{3}}$, используемый в полупрямом произведении, которое даёт ${\displaystyle S_{3}}$, является нетривиальным автоморфизмом, который переставляет два неединичных элемента группы ${\displaystyle C_{3}}$. Более того, три подгруппы порядка 2 в ${\displaystyle S_{3}}$ (любая из которых может выступать как дополнение ${\displaystyle C_{3}}$ в ${\displaystyle S_{3}}$) смежны.

Вывод о нетривиальности (дополнительной) смежности можно проиллюстрировать на четверной группе Клейна ${\displaystyle V}$ как ложный пример. Любая из трёх собственных подгрупп группы ${\displaystyle V}$ (все имеют порядок 2) нормальна в ${\displaystyle V}$. Фиксируя одну из этих подгрупп, любая из двух оставшихся (собственных) подгрупп дополняют её в ${\displaystyle V}$, но ни одна из этих трёх подгрупп группы ${\displaystyle V}$ не смежна другой, поскольку группа ${\displaystyle V}$ абелева.

Группа кватернионов имеет нормальные подгруппы порядка 4 и 2, но не является [полу]прямым произведением. Статьи Шура в начале 20-го века ввели понятие центрального расширения для примеров, таких как ${\displaystyle C_{4}}$ и кватернионов.

Существование дополнения нормальной подгруппы Холла H конечной группы G может быть доказано следующими шагами:

1. По индукции по порядку группы G мы можем предположить, что это верно для всех групп меньшего размера.
2. Если подгруппа H абелева, то существование дополнения следует из факта, что группа когомологий H²(G/H,H) исчезает (так как H и G/H имеют взаимно простые порядки) и факта, что смежность всех дополнений следует из исчезновения H¹(G/H,H).
3. Если подгруппа H разрешима, она имеет нетривиальную абелеву подгруппу A, которая является характеристикой в H, а потому нормальной в G. Применение Шура — Зассенхауса к G/A сокращает доказательство случая, когда H=A абелева, что сделано на предыдущем шаге.
4. Если нормализатор N=N_G(P) любой p-силовской подгруппы P подгруппы H равен G, то H нильпотентна, и, в частности, разрешима, так что теорема вытекает из предыдущего шага.
5. Если нормализатор N=N_G(P) некоторой p-силовской подгруппы P подгруппы H меньше, чем G, то по индукции теорема Шура — Зассенхауса выполняется для N и дополнение N∩H в N является дополнением для H в G, поскольку G=NH.