Теорема Адамара — Картана

Теорема Адамара — Картана — утверждение о том, что универсальное накрытие риманова многообразия с неположительной кривизной диффеоморфно евклидову пространству.

История

Для поверхностей в евклидовом пространстве теорема была доказана фон Мангольдтом в 1881 году,[1] и независимо Адамаром в 1898 году.[2] Общий случай был доказан Картаном в 1928 году.[3]

Обобщения на метрические пространства в разной общности были получены Буземаном[4][5] и Риновом,[6] Громовым[7] а также Александер и Бишопом.[8]

Формулировка

Теорема Картана — Адамара утверждает, что пространство универсального накрытия связного полного риманова многообразия неположительной секционной кривизны диффеоморфно евклидову пространству. Более того, экспоненциальное отображение в любой точке является диффеоморфизмом.

Вариации и обобщения
  • Теорема обобщается на гильбертовы многообразия в том смысле, что экспоненциальное отображение является универсальным накрытием. При этом полнота понимается в том смысле, что экспоненциальный отображение определено на всём касательном пространстве к точке.
  • Теорема Картана — Адамара для метрических пространств: метрическое пространство Х с неположительной кривизной в смысле Александрова является CAT(0)-пространством.
    • В частности, если X односвязно, то любые две точки в нём соединяются единственной геодезической, а значит, X является стягиваемым.

Предположение о неположительной кривизны может быть ослаблено[8]. Назовём метрическое пространство X выпуклым, если для любых двух геодезических a(t) и b(t) функция

является выпуклой функцией от t. Метрическое пространство называется локально выпуклым, если каждая его точка имеет окрестность, которая является выпуклой в этом смысле. Теорема Картана — Адамара для локально выпуклых пространств формулируется следующим образом:

  • Если X является локально выпуклым полным связным метрическим пространством, то универсальное накрытие X является выпуклым геодезическим пространством по отношению к индуцированной внутренней метрике.
    • В частности, универсальное накрытие такого пространства стягиваемо.

Примечания
  1. Hans von Mangoldt. Ueber diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten Flächen, welche die Eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein. (нем.) // J. Reine Angew. Math.. — 1881. — Bd. 91. — S. 23–53.
  2. Hadamard, J. Sur la forme des lignes géodésiques à l'infini et sur les géodésiques des surfaces réglées du second ordre (фр.) // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1898. — Vol. 26. — P. 195-216.
  3. Cartan, Élie. Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1928. — vi+273 с.
  4. Busemann, H. Spaces with non-positive curvature. Acta Mathematica 80 (1948), 259--310.
  5. Буземан Г. Геометрия геодезических. — 1962.
  6. Rinow, W. Die innere Geometrie der metrischen Raume. Springer, Berlin, Geidelberg, New York, 1961.
  7. Gromov, M. Hyperbolic groups. Essays in group theory. (англ.) // Math. Sci. Res. Inst. Publ.. — New York: Springer, 1987. — Vol. 8. — P. 75–263.
  8. S. B. Alexander, R. L. Bishop. The Hadamard—Cartan theorem in locally convex metric spaces // Enseign. Math. (2). — 1990. — Т. 36, вып. 3—4. — С. 309—320.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.