Скобка Мояля

В физике, в скобка Мояля — это соответствующим образом нормированное антисимметризованное произведение Мояля в фазовом пространстве.

Скобка Мояля была введена в 1940 году Хосе Энрике Моялем, но ему удалось опубликовать свою работу только в 1949 году после долгих споров с Полем Дираком.[1][2]. В то же время эта идея была независимо высказана в 1946 году Хипом Груневолдом в докторской диссертации[3].

Обзор

Скобка Мояля — это способ построения коммутатора наблюдаемых величин в представлении фазового пространства квантовой механики, когда эти наблюдаемые описаны как функции в фазовом пространстве. Она опирается на распределения. Для определения функций на фазовом пространстве с квантовыми наблюдаемыми, наиболее известные из этих распределений задаются преобразованием Вигнера — Вейля. Скобка Мояля лежит в основе динамического уравнения Мояля, что эквивалентна формулировки квантовым уравнениям движения Гейзенберга, тем самым обеспечивая квантовое обобщение уравнения Гамильтона.

Математически, это деформации скобок Пуассона в фазовом пространстве (по сути их расширение), где в качестве параметра деформации выступает приведенная постоянная Планка ħ. Таким образом, её сокращение группы при ħ→0 задаёт алгебру Ли скобок Пуассона.

Вплоть до формальной эквивалентности, скобка Мояля — это уникальная однопараметрическая Ли-алгебраическая деформация скобки Пуассона. Его алгебраический изоморфизм с алгеброй коммутаторов обходит отрицательный результат теоремы Груневолда — Ван Хофа, которая исключает такие изоморфизмы для скобки Пуассона. Этот вопрос косвенно поднимался Дираком в 1926 году в его докторской диссертации: «метод классической аналогии» для квантования[4].

Например, в двухмерном плоском фазовом пространстве, и для принципа соответствия Вейля, скобка Мояля определяется как,

где  — это оператор звёздочного произведения в фазовом пространстве (см. произведение Мояля), f и g дифференцируемые функций в  фазовом пространстве, а {f, g} их скобка Пуассона.[5]

Более конкретно, это выражение равняется

Левая и правая стрелки над частными производными обозначают левую и правую производные. Иногда скобку Мояля называют синус скобкой.

Популярное (Фурье) интегральное представление для него, ввел Джордж Бейкер[6]

Каждому отображению из фазового пространства в гильбертово пространство соответствует характеристическая скобка Мояля (здесь на примере отображения Вейля). Все такие скобки Мояля формально равноправны между собой, в соответствии с систематической теорией[7].

Скобка Мояля определяет одноименную бесконечномерную алгебру Ли — антисимметричную по своим аргументам f и g, и удовлетворяющую тождеству Якоби. Соответствующая абстрактная алгебра реализована Tf f, так что

На 2-торе фазового пространства, T 2, то есть с периодическими координатами x и p, каждая задана в полосе [0,2π], и целоечисленными индексами мод mi для базисных функций exp(i (m1x+m2p)), эта алгебра Ли задаётся,[8]

которое редуцируется до SU(N) для целочисленных N  4π/ħ. SU(N) возникает как деформация SU(∞), с параметром деформации 1/N.

Обобщение скобки Мояля для квантовых систем со связями второго класса предполагает проведение операции на классах эквивалентности функций в фазовом пространстве,[9], которые могут рассматриваться как квантовые деформации скобки Дирака.

Синус скобка и косинус скобка

Рядом с синус скобкой, Груневолд дополнительно ввёл косинус скобку, определяемую по Бейкеру,[10]

Здесь, опять же, — звёздочное произведение в фазовом пространстве, f и g дифференцируеме функции в фазовом пространстве, а f g — обычное произведение.

Синус и косинус скобки, соответственно, антисимметризованное и симметризованное звёздочное произведения. Таким образом, как синус скобка — отображение Вигнера коммутатора, косинус скобка образ преобразования Вигнера антикоммутатора в стандартной квантовой механике. Точно так же, как скобка Мояля равна скобке Пуассона с точностью до более высоких степеней ħ, косинус скобка равна обычному произведению с точностью до более высоких степеней ħ. В классическом пределе, скобка Мояля упрощается до уравнения Лиувилля (сформулированого в терминах скобки Пуассона), а косинус скобка сводится к классическому уравнению Гамильтона — Якоби[11].

Синус и косинус скобки также приводят к уравнениям чисто алгебраического описания квантовой механики[12].

Ссылки

  1. Moyal, J. E. Quantum mechanics as a statistical theory (англ.) // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society : journal. — 1949. Vol. 45. P. 99. doi:10.1017/S0305004100000487. — .
  2. Maverick Mathematician: The Life and Science of J.E. Moyal (Chap. 3: Battle With A Legend). Дата обращения: 2 мая 2010.
  3. Groenewold, H. J. On the principles of elementary quantum mechanics (неопр.) // Physica. — 1946. Т. 12, № 7. С. 405—460. doi:10.1016/S0031-8914(46)80059-4. — .
  4. P.A.M. Dirac, «The Principles of Quantum Mechanics» (Clarendon Press Oxford, 1958) ISBN 978-0-19-852011-5
  5. Или наоборот скобка Пуассона формально выражается через звёздочное произведение, {f, g = 2f (log) g.
  6. G. Baker, "Formulation of Quantum Mechanics Based on the Quasi-probability Distribution Induced on Phase Space, " Physical Review, 109 (1958) pp.2198-2206. doi:10.1103/PhysRev.109.2198
  7. C.Zachos, D. Fairlie, and T. Curtright, «Quantum Mechanics in Phase Space» (World Scientific, Singapore, 2005) ISBN 978-981-238-384-6.
  8. Fairlie, D. B. Infinite-dimensional algebras, sine brackets, and SU(∞) (англ.) // Physics Letters B : journal. — 1989. Vol. 224. P. 101. doi:10.1016/0370-2693(89)91057-5. — .
  9. M. I. Krivoruchenko, A. A. Raduta, Amand Faessler, Quantum deformation of the Dirac bracket, Phys.
  10. See also the citation of Baker (1958) in: Curtright, T. Features of time-independent Wigner functions (англ.) // Physical Review D : journal. — 1998. Vol. 58, no. 2. doi:10.1103/PhysRevD.58.025002. — . arXiv:hep-th/9711183.
  11. B. J. Hiley: Phase space descriptions of quantum phenomena, in: A. Khrennikov (ed.
  12. M. R. Brown, B. J. Hiley: Schrodinger revisited: an algebraic approach, arXiv: quant-ph/0005026 (submitted 4 May 2000, version of 19 July 2004, retrieved June 3, 2011)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.