Преобразование Вигнера — Вейля

Преобразование Вейля (или квантование Вейля) функции f можно выразить с помощью следующего оператора в гильбертовом пространстве,

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint \!\!\!\iint f(q,p)\rho \left(e^{i(a(Q-q)+b(P-p))}\right){\text{d}}q\,{\text{d}}p\,{\text{d}}a\,{\text{d}}b.}$

Здесь ${\displaystyle \hbar }$ это редуцированная постоянная Планка.

Проще выполнить интегрирование по p и q, которое имеет смысл вычисления обычного преобразования Фурье ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ функции ${\displaystyle f}$, оставляя операторы ${\displaystyle e^{i(aQ+bP)}}$ без изменений. В этом случае преобразование Вейля можно записать в виде[5]

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db}$.

Поэтому мы можем думать об отображении Вейля следующим образом: берем обычное преобразование Фурье функции ${\displaystyle f(p,q)}$, а затем применяя формулу обращения Фурье, мы заменяем квантовые операторы ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ для начальных классических переменных ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$, получая таким образом „квантовую версию ${\displaystyle f}$.“

Менее симметричная форма, но и полезная для приложений, имеет вид,

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\iint \!\!\!\iint \!\!dqdpd{\tilde {x}}d{\tilde {p}}~e^{{\frac {i}{\hbar }}({\tilde {x}}{\tilde {p}}-2({\tilde {p}}-p)({\tilde {x}}-q))}~f(q,p)~|{\tilde {x}}\rangle \langle {\tilde {p}}|.}$

Отображение Вейля можно выразить в терминах ядра интегрального оператора для матричных элементов,[6]

${\displaystyle \langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).}$

Обратное к вышеприведённому отображению Вейля называется отображением Вигнера, которое преобразует оператор Φ к исходной функции ядра в фазовом пространстве f,

${\displaystyle f(q,p)=2\int _{-\infty }^{\infty }{\text{d}}y~e^{-2ipy/\hbar }~\langle q+y|\Phi [f]|q-y\rangle .}$

Если заменить ${\displaystyle \Phi [f]}$ в приведенном выше выражении произвольным оператором, то функция f может зависеть от постоянной Планка ħ, и может хорошо описывать квантово-механические процессы при условии, что она правильно составлена, то есть с использованием звёздочного произведения (см. ниже).[7]

Хотя приведенные выше формулы дают хорошее понимание квантования Вейля для наблюдаемых общего вида в фазовом пространстве, они не очень удобны для вычислений простых наблюдаемых, таких как те, которые представляются многочленами переменных ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle p}$. В последующих разделах мы увидим, что для таких многочленов, квантование Вейля представляет собой полностью симметричный набор упорядоченных некоммутирующих операторов ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle P}$. Например, отображение Вигнера квадрата оператора квантового углового момента L² — это не просто классический момент импульса в квадрате, но оно также содержит смещение −3ħ²/2, которое приходится на неисчезающую часть углового момента боровской орбиты для основного состояния.

Действие квантования Вейля на полиномиальные функции ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle p}$ полностью определяется следующей симметричной формулой:[8]

${\displaystyle (aq+bp)^{n}\longmapsto (aQ+bP)^{n}}$

для всех действительных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Из этой формулы, нетрудно показать, что квантование Вейля функции вида ${\displaystyle q^{k}p^{l}}$ даёт среднее для всех возможных упорядочиваний ${\displaystyle k}$ множителей ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle l}$ множителей ${\displaystyle P}$. Например, для

${\displaystyle 6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.}$

Хотя этот результат концептуально понятен, он не очень удобен для вычислений, когда ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle l}$ большие. В таких случаях, мы можем использовать формулу Маккоя[9]

${\displaystyle p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}Q^{r}P^{m}Q^{n-r}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}P^{s}Q^{n}P^{m-s}.}$

Это выражение дает явно другой ответ для случая ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$ очевидно отличный от совершенно симметричного выражения выше. Тут нет никакого противоречия, однако, поскольку канонические коммутационные соотношения позволяют более чем одно выражение для одного и того же оператора. Используя коммутационные соотношения можно переписать полностью симметричную формулу для случая ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$ в терминах операторов ${\displaystyle P^{2}Q^{2}}$, ${\displaystyle QP^{2}Q}$ и ${\displaystyle Q^{2}P^{2}}$ и проверить первое выражение в формуле Маккоя для ${\displaystyle m=n=2}$.

Считается, что квантование Вейля, среди всех схем квантования, как можно ближе к отображению скобки Пуассона в классическом случае на коммутатор в квантовом случае. (Точное соответствие невозможно, в свете теоремы Груневолда[10])

Теорема: Если ${\displaystyle f(q,p)}$ это полином степени не более 2 и ${\displaystyle g(q,p)}$ — произвольный многочлен, то ${\displaystyle \Phi (\{f,g\})={\frac {1}{i\hbar }}[\Phi (f),\Phi (g)]}$.

• Если f — это вещественная функция, то её образ Вейля Φ[f] самосопряжен.
• Если f является элементом пространства Шварца, то Φ[f] — ядерный оператор в гильбертовом пространстве.
• В более общем случае, Φ[f] плотно определённый неограниченный оператор.
• Отображение Φ[f] — взаимнооднозначное соответствие на пространстве Шварца (как подпространство квадратично интегрируемых функций).