Род многообразия

Род многообразия — гомоморфизм кольца кобордизмов замкнутых многообразий в некоторое кольцо, обычно кольцо рациональных чисел.

Определение

Род φ выбирает элемент φ(X) из некоторого кольца K для каждого многообразия X так, что

  1. φ(XY) = φ(X) + φ(Y) (где ∪ — несвязное объединение)
  2. φ(X×Y) = φ(X)φ(Y)
  3. φ(X) = 0, если X кобордантно нулю.

При этом рассматриваемые многообразия могут быть снабжены дополнительной структурой, например, ориентацией или спинорной структурой.

Кольцо K обычно является полем рациональных чисел, но также рассматривают и кольцо модулярных форм.

Условия на φ можно переформулировать, сказав, что φ является гомоморфизмом кольца кобордизмов многообразий (с учётом структуры) в другое кольцо.

Род формальных степенных рядов

Последовательность многочленов K1, K2,... от переменных р1,р2,... называется мультипликативной, если из

следует

Если Q(z) представляет собой формальный степенной ряд от z со свободным членом 1, мы можем определить мультипликативные последовательности

как

где pk — это k-я элементарная симметрическая функция с неизвестными .

Род φ ориентированных многообразий, соответствующий степенному ряду Q, определяется как

где pk есть kкласс Понтрягина многообразия X. При этом степенной ряд Q называется характеристическим рядом рода φ. 

Примеры

L-род и сигнатура

L-род определяется характеристическим рядом

где числа Бернулли. Первые несколько значений:

  • [1][2]


Если M — замкнутое гладкое ориентированное многообразие размерности 4n с классами Понтрягина , то значение L-рода на фундаментальном классе равно сигнатуре  , то есть

.

Тот факт, что L2 всегда целочисленный для гладких многообразий, использовал Джон Милнор в доказательстве существования кусочно-линейного 8-мерного многообразия без гладкой структуры. 

Â-род

Â-род определяется характеристическим рядом

 Первые несколько значений

Свойства

  • Â-род спинорного многообразия есть целое число,
    • Â-род спинорного многообразия размерности — чётное целое число.  
  • Â-род спинорного многообразия равен индексу оператора Дирака.
  • Если компактное спинорное  многообразие допускает метрику положительной скалярной кривизны, то его Â-род равен нулю.

См. также

Примечания

  1. McTague, Carl (2014) "Computing Hirzebruch L-Polynomials".
  2. последовательность A237111 в OEIS.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.