Разрешимое множество

Разреши́мое множество (также рекурси́вное, вычислимое) — множество натуральных чисел, для которого существует алгоритм, получающий на вход любое натуральное число и через конечное число шагов завершающийся определением, принадлежит ли оно данному множеству. Другими словами, множество является разрешимым, если его характеристическая функция вычислима. Множество, не являющееся разрешимым, называется неразреши́мым. Также можно говорить о разрешимом множестве, состоящем из любых конструктивных объектов, кодируемых натуральными числами. Любое разрешимое множество является перечислимым и арифметическим. Разрешимые множества соответствуют уровню ${\displaystyle \Delta _{1}^{0}}$ арифметической иерархии.

В общем случае, подмножество ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{1}}$ множества ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{2}}$ конструктивных элементов называется разрешимым относительно ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{2}}$, если существует алгоритм, применимый к объектам из ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{2}}$ и в случае применения к некоторому объекту ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{2}}$ дающий ответ на вопрос, принадлежит ли этот объект ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{1}}$[1].

Существуют перечислимые множества, не являющиеся разрешимыми. Более того, перечислимое множество является разрешимым тогда и только тогда, когда его дополнение также перечислимо. Проекция разрешимого множества является перечислимой, но может не быть разрешимой. Подмножество разрешимого множества может не быть разрешимым (и даже может не быть арифметическим).

Совокупность всех разрешимых подмножеств ${\displaystyle \mathbb {N} }$ является счётным множеством, а совокупность всех неразрешимых подмножеств ${\displaystyle \mathbb {N} }$ — несчётным, так как множество всех подмножеств положительных целых чисел ${\displaystyle 2^{P}}$ несчётно.[2]

Существует взаимно однозначное соответствие между вычислимыми подмножествами ${\displaystyle S\subset P}$ и вычислимыми вещественными числами ${\displaystyle x\in [0,1]}$[2].