Пример Данжуа

Проще всего предъявляется пример гомеоморфизма окружности, число вращения которого иррационально, но который, тем не менее, не минимален. А именно, рассмотрим поворот ${\displaystyle R}$ на некоторый иррациональный угол ${\displaystyle \alpha }$, и выберем произвольную начальную точку ${\displaystyle x_{0}}$. Рассмотрим её орбиту ${\displaystyle x_{n}=R^{n}(x_{0})}$ (при всех целых ${\displaystyle n}$, как положительных, так и отрицательных). Произведём следующую перестройку: в каждой точке ${\displaystyle x_{n}}$ разрежем окружность и вклеим интервал ${\displaystyle I_{n}}$ некоторой длины ${\displaystyle l_{n}>0}$, так, чтобы сумма длин вклеенных интервалов сходилась:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }l_{n}<\infty .}$

Тогда получившееся после такой вклейки множество по-прежнему будет окружностью, более того, на ней будет естественная мера Лебега (состоящая из меры Лебега на разрезанной старой окружности и меры Лебега на вклеенных интервалах), то есть длина — и, тем самым, гладкая структура. Произвольным образом продолжив отображение ${\displaystyle R}$ со старой окружности так, чтобы оно переводило интервал ${\displaystyle I_{n}}$ в интервал ${\displaystyle I_{n+1}}$, — например, выбрав в качестве продолжения аффинное отображение из ${\displaystyle I_{n}}$ в ${\displaystyle I_{n+1}}$, — мы получаем гомеоморфизм f новой окружности с тем же числом вращения ${\displaystyle \alpha }$. Однако, у этого гомеоморфизма есть канторово инвариантное множество ${\displaystyle K}$ (замыкание множества точек старой окружности), и потому он не может быть сопряжён иррациональному повороту.

Выбрав последовательность длин ${\displaystyle l_{n}}$ так, чтобы последовательность отношений ${\displaystyle l_{n}/l_{n+1}}$ оставалась ограниченной при ${\displaystyle n\to \pm \infty }$, для конструкции с аффинным продолжением можно добиться липшицевости построенного гомеоморфизма. Однако, чтобы построенное отображение было диффеоморфизмом, выбор продолжения на отрезки ${\displaystyle I_{n}}$ следует сделать более тонко.

Пример в классе ${\displaystyle C^{1}}$ строится так, чтобы производная построенного диффеоморфизма ${\displaystyle f}$ на канторовом множестве ${\displaystyle K}$ — замыкании множества точек исходной окружности — равнялась бы 1 (поскольку мера Лебега на этом множестве сохраняется построенным диффеоморфизмом, это необходимое условие при такой конструкции). Поэтому, необходимо выбирать переставляющие интервалы ${\displaystyle I_{n}}$ ограничения ${\displaystyle \varphi _{n}=f|_{I_{n}}:I_{n}\to I_{n+1}}$ так, чтобы выполнялись следующие условия:

• (D1) Производная ${\displaystyle \varphi _{n}}$ в концах интервала ${\displaystyle I_{n}}$ равна 1.
• (D2) При ${\displaystyle n\to \pm \infty }$, производные отображений ${\displaystyle \varphi _{n}}$ равномерно стремятся к 1.

Последнее условие необходимо, так как с ростом ${\displaystyle n}$ интервалы ${\displaystyle I_{n}}$ накапливаются к канторовому множеству ${\displaystyle K}$. Более того, несложно видеть, что эти условия и достаточны для того, чтобы построенное отображение ${\displaystyle f}$ было бы ${\displaystyle C^{1}}$-диффеоморфизмом.

В силу теоремы Лагранжа, на отрезке ${\displaystyle I_{n}}$ найдётся точка, производная в которой будет равна ${\displaystyle l_{n+1}/l_{n}}$. Второе условие поэтому требует, чтобы для последовательности ${\displaystyle l_{n}}$ имело место

${\displaystyle \lim _{n\to \pm \infty }l_{n}/l_{n+1}=1.\qquad (*)}$

Как оказывается, это условие на длины для построения ${\displaystyle C^{1}}$-диффеоморфизма является и достаточным. А именно, отображения ${\displaystyle \varphi _{n}}$ выбираются следующим образом: на отрезках ${\displaystyle I_{n}}$ и ${\displaystyle I_{n+1}}$ вводятся координаты, отождествляющие их с отрезками ${\displaystyle [-l_{n}/2,l_{n}/2]}$ и ${\displaystyle [-l_{n+1}/2,l_{n+1}/2]}$ соответственно, и отображение ${\displaystyle \varphi _{n}}$ выбирается как

${\displaystyle \varphi _{n}=F_{l_{n+1}}^{-1}\circ F_{l_{n}},\qquad (**)}$

где

${\displaystyle F_{l}:[-l/2,l/2]\to \mathbb {R} ,\quad F_{l}(x)=l\tan {\frac {\pi x}{l}}.\qquad (***)}$

Несложная выкладка показывает тогда, что производная ${\displaystyle \varphi _{n}}$ в любой точке отклоняется от 1 в не больше, чем ${\displaystyle \mathrm {const} \cdot |1-{\frac {l_{n}}{l_{n+1}}}|}$, поэтому условия (*) достаточно для выполнения второго необходимого условия D2. С другой стороны, столь же несложно видеть, что условие D1 также выполнено (именно для этого тангенс в формуле (***) и умножался на l: тогда скорость ухода на бесконечность на концах это ${\displaystyle 1/x}$, и не зависит от длины интервала l — поэтому композиционное частное касается тождественного отображения).

Выбор любой удовлетворяющей (*) последовательности ${\displaystyle l_{n}}$ со сходящейся суммой — например, ${\displaystyle l_{n}=1/(1+n^{2}),}$ — и завершает построение.

Пример в классе ${\displaystyle C^{1+\varepsilon }}$ предъявляется уже описанной выше конструкцией, но с более тонкими условиями на длины ${\displaystyle l_{n}}$. А именно, как несложно видеть, построенный диффеоморфизм будет иметь гёльдерову производную тогда и только тогда, когда производные всех ограничений ${\displaystyle \varphi _{n}}$ равномерно по ${\displaystyle n}$ гёльдеровы. Действительно, сравнивая производные в точках из разных отрезков, можно подразбить эту разность производными в промежуточных концевых точках (поскольку производная в концевой точке всегда равна 1), и воспользоваться неравенством треугольника (в худшем случае, удвоив константу Гёльдера).

Поскольку на отрезке ${\displaystyle I_{n}}$ есть точка с производной ${\displaystyle l_{n+1}/l_{n}}$ (по теорема Лагранжа) и есть точка, производная в которой равна 1 (это концевая точка), константа Гёльдера для показателя Гёльдера ${\displaystyle \varepsilon }$ не может быть меньше, чем

${\displaystyle (|1-{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}})/l_{n}^{\varepsilon }={\frac {|l_{n+1}-l_{n}|}{l_{n}^{1+\varepsilon }}}.\qquad (L)}$

Поэтому выражение (L) должно быть ограничено при ${\displaystyle n\to \pm \infty }$. Как оказывается, это условие ограниченности и достаточно — явная выкладка показывает, что точная константа Гёльдера ограничения ${\displaystyle \varphi _{n}}$ отличается от оценки снизу (L) не более, чем в константу раз. Для завершения конструкции остаётся предъявить двусторонне-бесконечную последовательность ${\displaystyle l_{n}}$ со сходящейся суммой, для которой выражение (L) остаётся ограниченным. Примером такой последовательности является

${\displaystyle l_{n}={\frac {1}{m\ln ^{2}m}},\quad m=2+|n|,}$

подходящая одновременно для всех ${\displaystyle \varepsilon <1}$.

Предъявляение такой последовательности и завершает конструкцию — построенный диффеоморфизм принадлежит классу ${\displaystyle C^{1+\varepsilon }}$ с любым ${\displaystyle \varepsilon <1}$.