Теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности

В теории динамических систем, теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа вращения ${\displaystyle \rho (f)}$ итерируемого отображения f. Грубо говоря, оказывается, что динамика итераций отображения в определённой степени похожа на динамику поворота на соответствующий угол.

А именно, пусть задан гомеоморфизм окружности f. Тогда:

1) Число вращения рационально тогда и только тогда, когда у f есть периодические точки. При этом знаменатель числа вращения — это период любой периодической точки, а циклический порядок на окружности точек любой периодической орбиты такой же, как и у точек орбиты поворота на ${\displaystyle \rho (f)}$. Далее, любая траектория стремится к некоторой периодической как в прямом, так и в обратном времени (${\displaystyle \alpha }$- и ${\displaystyle \omega }$-предельные траектории при этом могут быть разными).

2) Если число вращения f иррационально, то возможны два варианта:

i) либо у f есть плотная орбита, и тогда гомеоморфизм f сопряжён повороту на ${\displaystyle \rho (f)}$. В этом случае все орбиты f плотны (поскольку это верно для иррационального поворота);

ii) либо у f есть канторово инвариантное множество C, являющееся единственным минимальным множеством системы. В этом случае все траектории стремятся к C как в прямом, так и в обратном времени. Кроме того, отображение f полусопряжено повороту на ${\displaystyle \rho (f)}$: для некоторого отображения h степени 1,

${\displaystyle h\circ f=R_{\rho (f)}\circ h.}$

При этом множество C в точности является множеством точек роста h — иными словами, с топологической точки зрения, h схлопывает интервалы дополнения до C.