Теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности

В теории динамических систем, теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа вращения итерируемого отображения f. Грубо говоря, оказывается, что динамика итераций отображения в определённой степени похожа на динамику поворота на соответствующий угол.

А именно, пусть задан гомеоморфизм окружности f. Тогда:

1) Число вращения рационально тогда и только тогда, когда у f есть периодические точки. При этом знаменатель числа вращения — это период любой периодической точки, а циклический порядок на окружности точек любой периодической орбиты такой же, как и у точек орбиты поворота на . Далее, любая траектория стремится к некоторой периодической как в прямом, так и в обратном времени (- и -предельные траектории при этом могут быть разными).

2) Если число вращения f иррационально, то возможны два варианта:

i) либо у f есть плотная орбита, и тогда гомеоморфизм f сопряжён повороту на . В этом случае все орбиты f плотны (поскольку это верно для иррационального поворота);
ii) либо у f есть канторово инвариантное множество C, являющееся единственным минимальным множеством системы. В этом случае все траектории стремятся к C как в прямом, так и в обратном времени. Кроме того, отображение f полусопряжено повороту на : для некоторого отображения h степени 1,

При этом множество C в точности является множеством точек роста h — иными словами, с топологической точки зрения, h схлопывает интервалы дополнения до C.

См. также

Ссылки

  • Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.