Число вращения

Для формального определения, вместо гомеоморфизма окружности ${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}}$ рассматривают его поднятие ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ для накрытия окружности прямой ${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$. Число сдвига этого поднятия определяется как предел

${\displaystyle \tau (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}},}$

где ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ — произвольная точка. Число вращения f тогда определяется как

${\displaystyle \rho (f):=\tau (F)\mod 1\,\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$.

• Число вращения является инвариантом сохраняющего ориентацию топологического сопряжения, и даже полусопряжения отображениями степени 1: если ${\displaystyle h:S^{1}\to S^{1}}$ — отображение степени 1, такое, что ${\displaystyle f\circ h=h\circ g}$, где ${\displaystyle f,g}$ — гомеоморфизмы окружности, то числа вращения ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ совпадают.
• Как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально тогда и только тогда, когда у отображения есть периодическая точка.
• Теорема Данжуа утверждает, что, если отображение ${\displaystyle f}$ — C²-гладкое, а его число вращения ${\displaystyle \rho (f)}$ иррационально, то ${\displaystyle f}$ сопряжено повороту на ${\displaystyle \rho (f)}$.
• Число вращения непрерывно зависит от гомеоморфизма — отображение ${\displaystyle \rho :Homeo(S^{1})\to S^{1}}$ непрерывно.

• Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.