Минимальность (динамические системы)

В теории динамических систем, динамическая система называется минимальной, если у неё нет нетривиальных (замкнутых) подсистем.

Определения

Динамическая система называется минимальной, если для любого замкнутого

,

либо пусто, либо совпадает со всем .

Поскольку замыкание любой орбиты является инвариантным множеством, то определение можно эквивалентно переформулировать следующим образом: динамическая система минимальна, если любая её орбита всюду плотна.

Также, инвариантное подмножество фазового пространства системы называется минимальным множеством, если ограничение системы на него минимально.

Свойства

  • Минимальная система либо состоит из одной орбиты, либо не имеет ни неподвижных точек, ни периодических орбит.
  • Минимальный диффеоморфизм окружности эргодичен (теорема Катка-Эрмана).

Примеры

  • Иррациональный поворот минимален.
  • Сдвиг на постоянный вектор на торе минимален тогда и только тогда, когда координаты вектора сдвига и единица линейно независимы над .
  • Диффеоморфизм окружности минимален тогда и только тогда, когда он сопряжён иррациональному повороту.
  • Существует сохраняющий меру Лебега диффеоморфизм двумерного тора, который минимален, но не эргодичен (пример Фюрстенберга).

Литература

Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. М.: МЦНМО, 2005. — С. 42. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.