Минимальность (динамические системы)

Динамическая система ${\displaystyle (X,T)}$ называется минимальной, если для любого замкнутого

${\displaystyle A\subset X,\quad T(A)=A}$,

либо ${\displaystyle A}$ пусто, либо совпадает со всем ${\displaystyle X}$.

Поскольку замыкание любой орбиты является инвариантным множеством, то определение можно эквивалентно переформулировать следующим образом: динамическая система минимальна, если любая её орбита всюду плотна.

Также, инвариантное подмножество ${\displaystyle Y\subset X,\,Y\neq \emptyset }$ фазового пространства системы ${\displaystyle (X,T)}$ называется минимальным множеством, если ограничение ${\displaystyle (Y,T|_{Y})}$ системы на него минимально.

• Минимальная система либо состоит из одной орбиты, либо не имеет ни неподвижных точек, ни периодических орбит.
• Минимальный диффеоморфизм окружности эргодичен (теорема Катка-Эрмана).

• Иррациональный поворот минимален.
• Сдвиг на постоянный вектор на торе ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ минимален тогда и только тогда, когда координаты вектора сдвига и единица линейно независимы над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• Диффеоморфизм окружности минимален тогда и только тогда, когда он сопряжён иррациональному повороту.
• Существует сохраняющий меру Лебега диффеоморфизм двумерного тора, который минимален, но не эргодичен (пример Фюрстенберга).

Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 42. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.