Отношение шансов

Представим себе некое редкое заболевание, которым страдает, к примеру, только один среди многих тысяч взрослых людей в стране. Предположим, что существует некий фактор (например, определенная травма, полученная в детстве), который делает более вероятным развитие данного заболевания в будущем у взрослого. Наиболее информативным, в таком случае, был бы показатель отношения рисков (ОР). Но для его расчета мы должны бы были у всех взрослых в популяции узнать a) имели ли они травму в детстве и б) имеется ли у них заболевание сейчас. После этого мы получим информацию о том каково общее число человек имевших травму в детстве (объем экспонированной группы) ${\displaystyle N_{E}}$, из которых ${\displaystyle D_{E}}$ заболели в будущем и ${\displaystyle H_{E}}$ остались здоровы; а также общее количество человек не имевших травму в детстве (объем неэкспонированной группы), ${\displaystyle N_{NE}}$, из которых ${\displaystyle D_{NE}}$ заболели и ${\displaystyle H_{NE}}$ остались здоровы. Поскольку ${\displaystyle N_{E}=D_{E}+H_{E}}$ и аналогичная сумма имеет место для «NE» индексов, мы имеем четыре независимых числа, которые можем записать в таблицу:

	Больны	Здоровы
Фактор присутствует (Пострадали)	${\displaystyle D_{E}}$	${\displaystyle H_{E}}$
Фактор отсутствует (Не пострадали)	${\displaystyle D_{NE}}$	${\displaystyle H_{NE}}$

Чтобы избежать недоразумений в дальнейшем подчеркнем, что все эти числа получены по генеральной совокупности, а не по выборке.

Теперь риск развития заболевания при наличии травмы будет ${\displaystyle D_{E}/N_{E}}$ (где ${\displaystyle N_{E}=D_{E}+H_{E}}$), а риск развития болезни при отсутствии травмы ${\displaystyle D_{NE}/N_{NE}}$. Относительный риск (ОР) — это отношение двух чисел:

${\displaystyle RR={\frac {D_{E}/N_{E}}{D_{NE}/N_{NE}}}\,,}$

которое можно переписать так ${\displaystyle RR={\frac {D_{E}N_{NE}}{D_{NE}N_{E}}}={\frac {D_{E}/D_{NE}}{N_{E}/N_{NE}}}.}$

Рассмотрим шансы развития заболевания, которые при наличии травмы будут ${\displaystyle D_{E}/H_{E}\,,}$, а при отсутствии травмы ${\displaystyle D_{NE}/H_{NE}}$. Отношение шансов (ОШ) — это отношение двух чисел: ${\displaystyle OR={\frac {D_{E}/H_{E}}{D_{NE}/H_{NE}}}\,,}$

которое можно переписать так ${\displaystyle OR={\frac {D_{E}H_{NE}}{D_{NE}H_{E}}}={\frac {D_{E}/D_{NE}}{H_{E}/H_{NE}}}.}$

Так как заболевание является редким ОР≈ОШ. В самом деле, для редкого заболевания имеем ${\displaystyle D_{E}\ll H_{E}}$ поэтому ${\displaystyle D_{E}+H_{E}\approx H_{E}}$, но ${\displaystyle D_{E}/(D_{E}+H_{E})\approx D_{E}/H_{E}}$, или другими словами, для экспонированной группы риск развития заболевания примерно равен шансам. Аналогичные рассуждения приводят нас к пониманию того, что риск примерно равен шансам для неэкспонированной группы; но тогда отношение рисков, коим является ОР, примерно равняется отношению шансов, чем и является ОШ. Можно также заметить, что предположение о редком заболевании говорит о том что ${\displaystyle N_{E}\approx H_{E}}$ и ${\displaystyle N_{NE}\approx H_{NE},}$ из чего следует ${\displaystyle N_{E}/N_{NE}\approx H_{E}/H_{NE},}$ или другими словами знаменатели в итоговых выражениях для ОР и ОШ примерно равны. Числители же в точности совпадают, и поэтому опять мы заключаем что ОШ≈ОР.

Если вернуться назад к нашему гипотетическому исследованию, очень часто возникающая проблема — это то что у нас может не оказаться нужной информации, чтобы оценить все эти четыре числа. Например, у нас может не оказаться данных обо всей популяции по фактам наличия или отсутствия травмы в детстве.

Часто мы можем обойти эту проблему путём случайной выборки из генеральной совокупности: а именно, если ни заболевание, ни подверженность травмам в детстве не являются редкими в популяции, мы можем случайным образом выбрать, скажем, сотню человек и найти эти четыре числа в данной выборке; предполагая, что эта выборка является достаточно репрезентативной, ОР, вычисленное в данной выборке, будет хорошим приближением к ОР для всей совокупности.

В то же время, некоторые заболевания могут быть настолько редкими что, при всем желании, даже в большой выборке может не оказаться ни одного заболевшего (или их может быть так мало, что о статистической значимости не может быть и речи). По этой причине расчет ОР становится невозможным. Но мы, тем не менее, можем получить оценку ОР в данных обстоятельствах поскольку в отличие от заболевания, экспонирование травмой в детстве не является редким событием. Разумеется, вследствие редкости заболевания, это также будет всего лишь оценкой ОР.

Взглянем на последнее выражение для ОР: дробь в числителе ${\displaystyle D_{E}/D_{NE}}$ мы в состоянии оценить, собрав все известные случаи заболевания (предполагается, что такие случаи есть, иначе мы не затевали бы исследование вообще), и посмотрев сколько среди заболевших людей были экспонированы, а сколько нет. И дробь в знаменателе ${\displaystyle H_{E}/H_{NE}}$ — это шансы того, что здоровый человек в популяции получил травму в детстве. Теперь заметим что эти шансы, на самом деле, можно оценить путём случайной выборки из популяции, так как было сказано ранее, что распространенность экспонирования травмой в детстве достаточно велика, вследствие чего случайная выборка достаточного объёма с большой долей вероятности будет содержать значительное количество экспонированных человек. Поэтому здесь заболевание очень редкое, но фактор, который его вызывает уже не такой редкий; похожие ситуации довольно часто встречаются на практике.

Таким образом, мы можем оценить ОШ и затем, используя редкость заболевания, утверждать, что эта оценка также является хорошим приближением для ОР. К слову, рассмотренный случай — это обычная задача исследования типа случай-контроль.[1]

Аналогичные рассуждения можно провести не прибегая к употреблению понятия ОШ, например, так: поскольку мы имеем соотношения ${\displaystyle N_{E}\approx H_{E}}$ и ${\displaystyle N_{NE}\approx H_{NE}}$, следовательно мы получим ${\displaystyle N_{E}/N_{NE}\approx H_{E}/H_{NE}}$. Поэтому если путём случайной выборки мы стремимся оценить соотношение ${\displaystyle H_{E}/H_{NE}}$, тогда, прибегнув к предположении о редкости заболевания получим, что его хорошей оценкой будет являться величина ${\displaystyle N_{E}/N_{NE}}$, что нам и требовалось(при этом ${\displaystyle D_{E}/D_{NE}}$ мы уже знаем после изучения нескольких случаев заболевания) получить для расчета ОР. Тем не менее, считается хорошим тоном при публикации результатов приводить значение ОШ, но с оговоркой о том что ОР примерно такой же.

Отношение шансов — это дробь, в числителе которой, стоят шансы некоторого события для одной группы, а в знаменателе шансы того же события, но для другой группы. Данное выражение применяется также для расчета выборочных оценок отношения. В качестве групп могут выступать мужчины и женщины, экспериментальная и контрольная группа, а также любая дихотомия. Если вероятность события в каждой группе обозначить за p₁ (первая группа) и p₂ (вторая группа), тогда отношение шансов будет равно:

${\displaystyle {p_{1}/(1-p_{1}) \over p_{2}/(1-p_{2})}={p_{1}/q_{1} \over p_{2}/q_{2}}={\frac {\;p_{1}q_{2}\;}{\;p_{2}q_{1}\;}},}$

где q_x = 1 − p_x. Отношение шансов равное 1 означает, что исследуемое событие обладает равными шансами в обеих группах. Отношение шансов превышающее 1 означает, что событие имеет больше шансов произойти в первой группе. И отношение шансов не превышающее 1 свидетельствует о том, что событие имеет меньше шансов в первой группе. Отношение шансов всегда неотрицательная величина (если его значение определено). Значение становится неопределенным, если p₂q₁ равно нулю, то есть, если p₂ равно нулю или q₁ равно нулю.

Отношение шансов можно определить через совместное распределение вероятностей двух бинарных случайных величин. Совместное распределение бинарных случайных величин X и Y задается таблицей

	Y = 1	Y = 0
X = 1	${\displaystyle p_{11}}$	${\displaystyle p_{10}}$
X = 0	${\displaystyle p_{01}}$	${\displaystyle p_{00}}$

где p₁₁, p₁₀, p₀₁ и p₀₀ неотрицательные совместные вероятности, сумма которых равна 1. Шансы для Y в двух группах, определяемых условиями X = 1 и X = 0 вычисляются с помощью условных вероятностей при условии X, то есть P(Y|X):

	Y = 1	Y = 0
X = 1	${\displaystyle p_{11}/(p_{11}+p_{10})}$	${\displaystyle p_{10}/(p_{11}+p_{10})}$
X = 0	${\displaystyle p_{01}/(p_{01}+p_{00})}$	${\displaystyle p_{00}/(p_{01}+p_{00})}$

Таким образом, отношение шансов будет равно

${\displaystyle {{\dfrac {p_{11}/(p_{11}+p_{10})}{p_{10}/(p_{11}+p_{10})}}{\bigg /}{\dfrac {p_{01}/(p_{01}+p_{00})}{p_{00}/(p_{01}+p_{00})}}}={\dfrac {p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}}.}$

Дробь в правой части выражения, выше, легко запомнить как произведение вероятностей согласованных ячеек (X = Y) деленное на произведение вероятностей рассогласованных ячеек (X ≠ Y). Несмотря на то, что обозначение категорий с помощью 0 и 1 является произвольным, правило согласованных и несогласованных ячеек остается в силе.

Если вычислить отношение шансов с помощью условных вероятностей при условии Y,

	Y = 1	Y = 0
X = 1	${\displaystyle p_{11}/(p_{11}+p_{01})}$	${\displaystyle p_{10}/(p_{10}+p_{00})}$
X = 0	${\displaystyle p_{01}/(p_{11}+p_{01})}$	${\displaystyle p_{00}/(p_{10}+p_{00})}$

мы получим тот же результат

${\displaystyle {{\dfrac {p_{11}/(p_{11}+p_{01})}{p_{01}/(p_{11}+p_{01})}}{\bigg /}{\dfrac {p_{10}/(p_{10}+p_{00})}{p_{00}/(p_{10}+p_{00})}}}={\dfrac {p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}}.}$

Остальные меры величины эффекта для бинарных данных, например относительный риск, не обладают таким свойством симметрии.

Если X и Y независимы, их совместные вероятности можно выразить через маргинальные вероятности p_x =  P(X = 1) и p_y =  P(Y = 1) следующим образом:

	Y = 1	Y = 0
X = 1	${\displaystyle p_{x}p_{y}}$	${\displaystyle p_{x}(1-p_{y})}$
X = 0	${\displaystyle (1-p_{x})p_{y}}$	${\displaystyle (1-p_{x})(1-p_{y})}$

В этом случае отношение шансов равняется единице, и наоборот, если отношение шансов равно единице, совместные вероятности можно представить в виде таких произведений. Таким образом, отношение шансов равняется единице тогда и только тогда, когда X и Y независимы.

Отношение шансов является функцией от совместных вероятностей, и обратно, совместные вероятности можно восстановить если известны отношение шансов и маргинальные вероятности

P(X = 1) = p₁₁ + p₁₀ и P(Y = 1) = p₁₁ + p₀₁. Если отношение шансов R отлично от 1, то:

${\displaystyle p_{11}={\frac {1+(p_{1\cdot }+p_{\cdot 1})(R-1)-S}{2(R-1)}}}$

где p_1• = p₁₁ + p₁₀,  p_•1 = p₁₁ + p₀₁ и

${\displaystyle S={\sqrt {(1+(p_{1\cdot }+p_{\cdot 1})(R-1))^{2}+4R(1-R)p_{1\cdot }p_{\cdot 1}}}.}$

В случае равенства R = 1, мы имеем независимость, поэтому p₁₁ = p_1•p_•1.

Так как мы знаем p₁₁, остальные три вероятности легко определяются из маргинальных.

В медицинской литературе отношение шансов часто путают с величиной относительного риска. Для аудитории нестатистиков, концепция отношения шансов трудна для понимания, поэтому производит более впечатляющий эффект на читателя.[7] Тем не менее, большинство авторов считают, что относительный риск легко доступен для понимания.[8] В одном из исследований сказано, что члены национального фонда борьбы с заболеванием в 3,5 раза чаще всех остальных знали об общих принципах лечения данного заболевания, но отношение шансов было 24 и в статье это было представлено как то, что члены данной организации «более чем в 20 раз чаще знают о лечении».[9] Исследование статей в двух журналах показало что в 26 % статей отношение шансов интерпретировалось как отношение рисков.[10]

Это может свидетельствовать о том, что авторы, не имеющие представления о сути данной величины, предпочитают её как наиболее выразительную для своей публикации.[8] Но её использование в некоторых случаях может вводить в заблуждение.[11] Ранее было сказано, что отношение шансов должно описывать меру эффекта когда нет возможности оценить отношение рисков непосредственно.[7]