Опыт Дэвиссона — Джермера

Устройство, использованное Дэвиссоном и Джермером, состояло из электронной пушки, которая генерировала пучок за счёт термоэлектронной эмиссии из вольфрамовой ленты, нагретой за счёт эффекта Джоуля. После того, как испускаемые электроны попадали в небольшую камеру, они ускорялись с помощью разности потенциалов порядка десятков вольт (между 15 В и 350 В). Ускоренный пучок диаметром 1 мм направлялся на монокристалл никеля, расположенный в 7 мм от выхода электронов, падающих нормально к шлифованной поверхности[20]. Мишень представляла собой монокристалл никеля размерами 8 мм × 5 мм × 3 мм, который можно было вращать вокруг оси падения электронного пучка. Никель имеет гранецентрированную кристаллическую структуру кубического типа. Грань, на которую падал электронный пучок, была параллельна кристаллографической плоскости, определяемой индексами Миллера (111)[21].

Электроны дифрагировали на атомах никеля и выходили под определённым углом, который мог быть определён детектором, состоящим из двойной клетки Фарадея и гальванометра, который мог поворачиваться на 20° и 90° по отношению к направлению падающего луча, при этом в то же самое время, измеряли интенсивность электронного луча. Оба луча двигались в камере, в которой создавался вакуум при давлении от 2 · 10 ⁻⁶ мм рт. ст. до 3 · 10⁻⁶ мм рт. ст.[21].

Интенсивность дифрагированных электронов при напряжении 54 В и запущенных перпендикулярно кристаллографической плоскости (111) относительно угла дифракции (полярные координаты).

Дэвиссон и Джермер заметили, что когда ускоряющиеся электроны ударяются о поверхность никеля, возникают максимумы интенсивности, которые нельзя объяснить, рассматривая электрон как частицу, сталкивающуюся с поверхностью, заполненной сферическими атомами никеля, которые должны были бы рассеивать электроны во всех направлениях. Наиболее интенсивный максимум был достигнут при ускорении электронов с разностью потенциалов ${\displaystyle \triangle V=54\;V}$ против ориентированного кристалла никеля со слоями атомов, перпендикулярными направлению падения[20]. В данном случае имела место дифракция на отражение электронов с максимальной интенсивностью при ${\displaystyle \alpha =50^{\circ }}$ от направления падения[22].

Однако наблюдаемое явление было похоже на дифракцию рентгеновских лучей на кристаллической поверхности, открытую в 1912 году немецким физиком Максом фон Лауэ с его сотрудниками Паулем Книппингом и Вальтером Фридрихом, что позволило ему определить волновой характер рентгеновских лучей, рассматривая их как пучки частиц высокой энергии. Рентгеновская дифракция была изучена в 1913 году Уильямом Лоуренсом Брэггом и Уильямом Генри Брэггом, которые смогли связать максимальные интенсивности с расстояниями между слоями атомов кристалла[23][21].

Рентгеновская дифракция возникает из-за того, что это электромагнитное излучение имеет очень короткие длины волн, от 10 нм до 100 пм, что сравнимо с межатомными расстояниями в кристаллах (постоянная решётки в никеле ${\displaystyle D=215\;pm}$)[20]. В этом случае имеет место зеркальное рассеяние за счёт отражения атомами кристалла, а различные дифрагированные лучи интерферируют конструктивно и деструктивно. Первые усиливают интенсивность луча, а вторые ослабляют её[22].

В эксперименте Дэвиссона и Джермера регистрируются данные о конструктивной интерференции. Условие конструктивной интерференции соседних атомов, обеспечивающее максимальную интенсивность, состоит в том, что разность путей, то есть ${\displaystyle D\,\sin \alpha }$, двух дифрагированных лучей равна длине волны, ${\displaystyle \lambda }$, когда рентгеновские лучи дифрагируют. Применяя то же условие, можно вычислить длину волны дифрагированных электронов[22]

${\displaystyle \lambda =D\,\sin \alpha =215\,pm\cdot \sin 50^{\circ }=215\,pm\,\cdot 0,766=165\,pm\,.}$

Формула де Бройля для длины волны массовой частицы ${\displaystyle m}$, который движется со скоростью ${\displaystyle v}$[11]:

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{m\,v}}\,,}$

где ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка, которая равна ${\displaystyle 6,626\times 10^{-34}J\cdot s}$.

Скорость ${\displaystyle v}$ заряженного электрона ${\displaystyle e}$ и масса ${\displaystyle m}$, ускоренного разностью потенциалов ${\displaystyle \triangle V}$ можно вывести при малых скоростях, то есть без учёта релятивистских эффектов, из уравнивания электрической работы ${\displaystyle W_{AB}=-e\,\triangle V}$ и изменение кинетической энергии между началом и концом классической траектории, ${\displaystyle \triangle K_{AB}=K_{B}-K_{A}}$. Когда электроны ускоряются из состояния покоя, ${\displaystyle v_{A}=0}$

${\displaystyle K_{B}-K_{A}={\tfrac {1}{2}}\,m\,v_{B}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\,m\,v_{A}^{2}={\tfrac {1}{2}}\,m\,v_{B}^{2}\,.}$

Сопоставление этого выражения с электрической работой приводит к выражению

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,m\,v_{B}^{2}=-e\,\triangle V\,.}$

Поскольку заряд электрона отрицателен, можно записать

${\displaystyle v_{B}={\sqrt {\frac {2\,e\,\triangle V}{m}}}\,.}$

Длина волны де Бройля составит[20]

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{\sqrt {2\,m\,e\,\triangle V}}}\,.}$

Если подставить численные значения ${\displaystyle h=6,626\times 10^{-34}J\cdot s}$; ${\displaystyle m=9,1\times 10^{-31}kg}$; ${\displaystyle e=1,602\times 10^{-19}C}$ и ${\displaystyle \triangle V=54\;V}$ получится[20]

${\displaystyle \lambda =1,67\times 10^{-10}\;m=167\;pm\,.}$

Это значение совпадает в пределах эксперимента со значением, полученным Дэвиссоном и Джермером, что подтверждает гипотезу де Бройля. Это подтверждается и данными, полученными в опытах с другими напряжениями и с пучками электронов, попадающими на разные поверхности кристалла[24].

Схема дифракции электронов на поверхности кристалла Ni.

Дифракция электронов, как и рентгеновские лучи, происходит в определённых предпочтительных направлениях, предполагающих участие нескольких слоёв параллельных плоскостей атомов никеля внутри кристалла, из-за его малой длины рентгеновские лучи обладают хорошей проникающей способностью. Формула Брэгга имеет вид

${\displaystyle 2\,d\,\sin \theta =n\,\lambda }$

Схема дифракции электронов в эксперименте Дэвиссона — Джермера. Падающий пучок падает перпендикулярно поверхности Ni и достигает кристаллографической плоскости под углом ${\displaystyle \alpha /2}$ относительно нормали (штриховая линия) i ${\displaystyle \theta }$ относительно плоскости. Отражённый луч также делает это под равным углом ${\displaystyle \alpha /2}$ относительно нормального i ${\displaystyle \theta }$ относительно плоскости. Измеренный угол ${\displaystyle \alpha }$ .

где:

• ${\displaystyle d}$ — расстояние между двумя кристаллографическими плоскостями;
• ${\displaystyle \theta }$ — угол дифракции, угол между падающим лучом и кристаллографическим направлением или плоскостью кристалла, участвующего в дифракции;
• ${\displaystyle n}$ — порядок дифракции (1, 2, 3,. . .);
• ${\displaystyle \lambda }$ — длина волны электронов[25].

В эксперименте Дэвиссона и Джермера с монокристаллическим никелем пучок электронов проникает внутрь кристалла и отражается в разных параллельных плоскостях, разделенных расстоянием ${\displaystyle d=91\,pm}$ и с углом дифракции ${\displaystyle \theta =65^{\circ }}$. Применение формулы Брэгга к максимуму первого порядка ${\displaystyle n=1}$ даёт

${\displaystyle \lambda =2\,d\,\sin \theta =2\cdot 0,91\,pm\cdot \sin 65^{\circ }=165\,pm}$[26]

Межатомное расстояние, ${\displaystyle D}$, можно связать с расстоянием между кристаллографических плоскостей, ${\displaystyle d}$, и углом ${\displaystyle \alpha }$ между падающим и дифрагированным лучами. Половина этого угла равна углу, образованному поверхностью кристалла и направлением кристаллографических плоскостей, так как отражение электронного луча подчиняется закону отражения (падающий и отраженный лучи образуют такой же угол, как нормаль на поверхность отражения). Таким образом, угол между падающим и нормальным лучом равен ${\displaystyle \alpha /2}$, и эти два направления перпендикулярны поверхности кристалла и кристаллографической плоскости соответственно, поэтому они образуют один и тот же угол ${\displaystyle \alpha /2}$ . Связь оказывается

${\displaystyle d=D\,\sin {\tfrac {\alpha }{2}}}$

Угол между падающим лучом и кристаллографической плоскостью, ${\displaystyle \theta }$, равно ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-{\tfrac {\alpha }{2}}}$. И формула Брэгга можно переписать в терминах этого ушла и упростить, используя тригонометрическое тождество ${\displaystyle \sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\beta \right)=\cos \beta }$

${\displaystyle 2\,d\,\sin \,\theta =2\,d\,\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-{\tfrac {\alpha }{2}}\right)=2\,d\,\cos {\tfrac {\alpha }{2}}=n\,\lambda }$

Если заменить ${\displaystyle d}$

${\displaystyle 2\,D\,\sin {\tfrac {\alpha }{2}}\,\cos {\tfrac {\alpha }{2}}=n\,\lambda }$

или, используя тригонометрическое тождество двойного угла ${\displaystyle 2\,\sin \beta \,\cos \beta =\sin 2\beta }$

${\displaystyle D\,\sin \alpha =n\,\lambda }$

это уравнение используется для демонстрации в случае отражения от поверхности[22].