Магнитная жёсткость

На заряженную частицу, движущуюся в постоянном магнитном поле ${\displaystyle \mathbf {B} \ }$ со скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} \ }$, действует сила Лоренца (в системе СГС)

${\displaystyle {\mathbf {F} }=(q/c)[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]\ }$.

Согласно второму закону Ньютона, уравнения движения записываются как

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m\mathbf {v} )={\frac {q}{c}}[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ],}$

где для релятивисткого движения масса частицы определяется через массу покоя ${\displaystyle m_{0}\ }$ как

${\displaystyle m=m_{0}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Сила Лоренца, направленная перпендикулярно вектору скорости и вектору магнитной индукции, работы не совершает, поэтому модуль скорости частицы и её релятивская масса в постоянном магнитном поле изменяться не будут. Будет изменяться только направление вектора скорости, причём параллельная полю составляющая скорости ${\displaystyle \mathbf {v_{y}} ||\mathbf {B} \ }$ будет оставаться постоянной, а перпендикулярная составляющая ${\displaystyle \mathbf {v_{x}} \bot \mathbf {B} \ }$ будет поворачиваться. Таким образом

${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v_{x}} }{dt}}={\frac {q}{c}}[\mathbf {v_{x}} \times \mathbf {B} ],}$

где ${\displaystyle {\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {v_{x}^{2}}{R}}}$ будет центростремительным ускорением. Принимая во внимание, что проекция импульса на плоскость, перпендикулярную ${\displaystyle \mathbf {B} \ }$, есть ${\displaystyle p_{x}=mv_{x}\ }$, получаем

${\displaystyle {\frac {mv_{x}\cdot v_{x}}{R}}={\frac {q}{c}}v_{x}B\quad \Rightarrow \quad {\frac {p_{x}c}{q}}=BR.}$

Траектория частицы будет представлять собой спираль с радиусом кривизны ${\displaystyle R\ }$, «накрученную» на силовую линию.