Круги Форда

Круги Форда — особый случай взаимно касающихся кругов. Системы взаимно касающихся окружностей изучал Аполлоний Пергский, в честь которого названы задача Аполлония и сетка Аполлония. В XVII веке Декарт доказал теорему Декарта — соотношение между обратными радиусами взаимно касающихся окружностей[2].

Круги Форда названы в честь американского математика Лестера Форда старшего, писавшего о них в 1938 году[1].

Круг Форда, соответствующий дроби ${\displaystyle p/q}$, обозначается как ${\displaystyle C[p/q]}$ или ${\displaystyle C[p,q]}$. Каждому рациональному числу соответствует круг Форда. Кроме того, полуплоскость ${\displaystyle y\geqslant 1}$ тоже можно считать вырожденным кругом Форда бесконечного радиуса, соответствующим паре чисел ${\displaystyle p=1,q=0}$.

Любые два различных круга Форда либо не пересекаются вовсе, либо касаются друг друга. Ни у каких двух кругов Форда не пересекаются внутренние области, несмотря на то что в каждой точке на оси абсцисс, имеющей рациональную координату, эту ось касается один круг Форда. Если ${\displaystyle 0<p/q<1}$, то множество кругов Форда, касающихся ${\displaystyle C[p/q]}$, можно описать любым из следующих способов:

1. круги ${\displaystyle C[r/s]}$, где ${\displaystyle |ps-qr|=1}$,[1]
2. круги ${\displaystyle C[r/s]}$, где дроби ${\displaystyle r/s}$ соседствуют с ${\displaystyle p/q}$ в каком-либо ряде Фарея,[1] или
3. круги ${\displaystyle C[r/s]}$, где ${\displaystyle r/s}$ — ближайший меньший или ближайший больший предок ${\displaystyle p/q}$ в дереве Штерна — Броко, либо ${\displaystyle p/q}$ — ближайший меньший или больший предок ${\displaystyle r/s}$.[1]

Круги Форда также можно рассматривать как области на комплексной плоскости. Модулярная группа преобразований комплексной плоскости отображает круги Форда в другие круги Форда.[1]

Если интерпретировать верхнюю половину комплексной плоскости как модель гиперболической плоскости (модель Пуанкаре на полуплоскости), то круги Форда можно интерпретировать как замощение гиперболической плоскости орициклами. Любые два круга Форда конгруэнтны в гиперболической геометрии.[3] Если ${\displaystyle C[p/q]}$ и ${\displaystyle C[r/s]}$ — касающиеся круги Форда, то полуокружность, проходящая через точки ${\displaystyle (p/q,0)}$ и ${\displaystyle (r/s,0)}$ и перпендикулярная оси абсцисс, — это гиперболическая прямая, проходящая также через точку касания двух кругов Форда.

Круги Форда составляют подмножество кругов, из которых состоит сетка Аполлония, заданная прямыми ${\displaystyle y=0}$ и ${\displaystyle y=1}$ и окружностью ${\displaystyle C[0/1]}$.[4]

Имеется связь между общей площадью кругов Форда, функцией Эйлера ${\displaystyle \varphi }$, дзета-функцией Римана и постоянной Апери ${\displaystyle \zeta (3)}$.[5] Поскольку никакие два круга Форда не пересекаются по внутренним точкам, то немедленно получаем, что суммарная площадь кругов

${\displaystyle \left\{C[p,q]:0\leqslant {\frac {p}{q}}<1\right\}}$

меньше 1. Эта площадь даётся сходящейся суммой, которая может быть вычислена аналитически. По определению, искомая площадь равна

${\displaystyle A=\sum _{q\geqslant 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}.}$

Упрощая это выражение, получаем

${\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geqslant 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geqslant 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},}$

где последнее равенство использует формулу для ряда Дирихле с коэффициентами, даваемыми функцией Эйлера. Поскольку ${\displaystyle \zeta (4)=\pi ^{4}/90}$, в итоге получаем

${\displaystyle A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.}$

• Поризм Штейнера
• Поризм Понселе
• Ряд Фарея
• Сетка Аполлония
• Цепь Паппа Александрийского
• Цепь Понселе

• Ford's Touching Circles  (англ.)
• Weisstein, Eric W. Ford Circle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.