Комплекс Вьеториса — Рипса

Комплекс Вьеториса — Рипса первоначально назывался комплексом Вьеториса, по имени Леопольда Вьеториса, кто ввёл его как средство расширения теории гомологий из симплициальных комплексов метрических пространств[1][2][3][4]. После того, как Илья Аронович Рипс употребил некоторые комплексы для изучения гиперболических групп, их применения популяризировал Михаил Леонидович Громов[5], который назвал их комплексами Рипса[3][4]. Название «Комплекс Вьеториса — Рипса» принадлежит Хаусману[3][4].

Комплекс Вьеториса — Рипса тесно связан с комплексом Чеха (или нервом) множества шаров, который имеет симплекс для любого конечного подмножества шаров с ненулевым пересечением. В геодезически выпуклом пространстве Y комплекс Вьеториса — Рипса любого подпространства ${\displaystyle X\subset Y}$ для расстояния ${\displaystyle \delta }$ имеет те же самые точки и рёбра, что и комплекс Чеха множества шаров радиуса ${\displaystyle \delta /2}$ в Y, имеющих центры в точках множества X. Однако, в отличие от комплекса Чеха, комплекс Вьеториса — Рипса для X зависит только от внутренней геометрии X, а не от какого-либо вложения X в некоторое большее пространство.

Как пример, рассмотрим однородное метрическое пространство M₃, состоящее из трёх точек, каждая из которых находится на расстоянии единица от других. Комплекс Вьеториса — Рипса для M₃ для ${\displaystyle \delta =1}$ включает симплекс для любого подмножества точек из M₃, включая сам треугольник M₃. Если мы вложим M₃ как правильный треугольник в евклидову плоскость, то комплекс Чеха шаров радиуса 1/2 с центрами в точках M₃ будет содержать все остальные симплексы комплекса Вьеториса — Рипса, но не будет содержать треугольник, поскольку нет точки на плоскости, принадлежащей всем трём шарам. Однако, если M₃ вместо этого вложено в метрическое пространство, которое содержит четвёртую точку на расстоянии 1/2 от каждой точки M₃, комплекс Чеха для шаров радиуса 1/2 в этом пространстве будет содержать треугольник. Таким образом, комплекс Чеха для фиксированного радиуса шаров с центрами M₃ зависит от пространства, в которое M₃ может быть вложено, в то время как комплекс Вьеториса — Рипса остаётся неизменным

Если метрическое пространство X вложено в инъективное метрическое пространство Y, Комплекс Вьеториса — Рипса для расстояния ${\displaystyle \delta }$ и множества X совпадает с комплексом Чеха шаров радиуса ${\displaystyle \delta /2}$, имеющих центры в точках X в Y. Таким образом, комплекс Вьеториса — Рипса любого метрического пространства M равен комплексу Чеха системы шаров в инъективной оболочке пространства M.

Комплекс Вьеториса — Рипса для ${\displaystyle \delta =1}$ содержит ребро для любой пары точек, которые находятся на единичном или менее расстоянии в заданном метрическом пространстве. А тогда его 1-скелет — это граф единичных кругов его точек. Он содержит симплекс для любой клики в графе единичных кругов, так что он является флаговым комплексом (или кликовым комплексом) графа единичных кругов[6]. Более обще, кликовый комплекс любого графа G является комплексом Вьеториса — Рипса для метрического пространства, имеющего в качестве точек вершины графа G и имеющего в качестве расстояния длины кратчайших путей в G.

Если M — замкнутое риманово многообразие, то для достаточно малых значений ${\displaystyle \delta }$ комплекс Вьеториса — Рипса для M или пространства, достаточно близкие к M, гомотопически эквивалентны самому M[3][7].

Чамберс, Эриксон и Вора[6] описали эффективные алгоритмы определения, стягивается ли данный цикл в комплексе Рипса любого конечного множества на евклидовой плоскости.

Как и в случае единичных дисковых графов, комплекс Вьеториса — Рипса применяется в информатике для моделирования топологии беспроводных ad-hoc-сетей. Одним из преимуществ комплекса Вьеториса — Рипса в этом приложении является то, что он может быть задан исходя лишь из расстояний между взаимодействующими узлами без необходимости знания их физического местоположения. Недостатком является то, что в отличие от комплекса Чеха, комплекс Вьеториса — Рипса не обеспечивает непосредственно информацию о дырах в коммуникационном покрытии, но этот недостаток можно уменьшить путём размещения комплекса Чеха между двумя комплексами Вьеториса — Рипса для различных значений ${\displaystyle \delta }$[8][9]. Имплементацию комплексов Вьеториса — Рипса можно найти в R пакете TDAstats[10].

Комплексы Вьеториса — Рипса применяются также для выделения признаков в изображениях. В этом приложении комплекс строится в метрическом пространстве высокой размерности, в котором точки представляют признаки изображения низкого порядка [11].