Комплекс Чеха

Комплекс Чеха — абстрактный симплициальный комплекс, построенный по облаку точек в любом метрическом пространстве, предназначенный для получения топологической информации об облаке точек или распределении, при помощи которого выбираются точки. Широко используется в топологическом анализе данных.

Построение комплекса Чеха множества точек, выбранных на окружности

Комплекс Чеха строится ${\displaystyle {\check {C}}_{\varepsilon }(X)}$ для данного конечного облака точек ${\displaystyle X}$ и числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ строится следующим образом:

• выбираются элементы множества ${\displaystyle X}$ в качестве набора вершин ${\displaystyle {\check {C}}_{\varepsilon }(X)}$;
• для каждого ${\displaystyle \sigma \subset X}$ пусть ${\displaystyle \sigma \in {\check {C}}_{\varepsilon }(X)}$, если множество ${\displaystyle \varepsilon }$-шаров с центрами в ${\displaystyle \sigma }$ имеет непустое пересечение.

Другими словами, комплекс Чеха — это нерв множества ${\displaystyle \varepsilon }$-шаров с центрами в ${\displaystyle X}$.

Комплекс Чеха является подкомплексом комплекса Вьеториса — Рипса. В то время как комплекс Чеха вычислительно «дороже» комплекса Вьеториса — Рипса (с точки зрения вычислительной геометрии), поскольку необходимо проверять большее количество пересечений шаров в комплексе, теорема о нерве гарантирует, что комплекс Чеха гомотопически эквивалентен объединению шаров, тогда как комплекс Вьеториса — Рипса таким свойством в общем случае не обладает[1].