Зонная диаграмма

Правила построения зонных диаграмм рассматриваются в учебных пособиях по физике полупроводниковых приборов и твердотельной электронике[1][2].

Зонная диаграмма полупроводниковой гетероструктуры (контакта двух разных полупроводников) без внешнего напряжения.

Зонная диаграмма однородного полупроводника представляет собой две параллельные линии, соответствующие ${\displaystyle E_{c}}$ и ${\displaystyle E_{v}}$ (cм. в верхней части рисунка, для двух материалов). Энергетическое расстояние между линиями равно ширине запрещённой зоны ${\displaystyle E_{g}}$. Состояния выше ${\displaystyle E_{c}}$ и ниже ${\displaystyle E_{v}}$ являются разрешёнными. Также показаны сродство к электрону ${\displaystyle \chi }$ (разность энергий ${\displaystyle E_{c}}$ и уровня вакуума ${\displaystyle E_{vac}}$) и работа выхода ${\displaystyle \varphi }$ (разность ${\displaystyle E_{vac}}$-${\displaystyle E_{F}}$), которая для заданного материала диктуется концентрацией легирующей примеси.

Если к слою материала с высоким удельным сопротивлением, например диэлектрика, приложено напряжение, то диаграмма наклоняется. Однако если сопротивление невелико, то основная часть напряжения будет падать на контактах или же, в системах с комбинациями материалов — на границах. Наклон ${\displaystyle dE_{c}/qdx}$ (${\displaystyle q}$ — заряд электрона) равен величине электрического поля.

На стыке материалов должны выполняться такие правила[3][4]:

• ${\displaystyle E_{g}}$ и ${\displaystyle \chi }$ в материале неизменны вплоть до стыка;
• разница в ${\displaystyle E_{F}}$ слева и справа равна внешнему напряжению;
• уровень вакуума не претерпевает скачка на стыке.

Для обеспечения этих условий требуется изгиб зон слева и справа от стыка, а также разрыв краёв зон: ${\displaystyle \Delta E_{\rm {c}}=\chi _{1}-\chi _{2}\,}$, ${\displaystyle \Delta E_{\rm {v}}=-(\chi _{\rm {1}}+E_{\rm {g1}})+(\chi _{\rm {2}}+E_{\rm {g2}})\,}$ (см. нижнюю часть рисунка). Если слева и справа одинаковое вещество с разными концентрациями примеси, то разрывов не будет. Отступ по энергии от ${\displaystyle E_{F}}$ до краёв зон около стыка отличается от этого же отступа в толще. Направление изгиба определяется величинами напряжения и сродства к электрону, а точно профиль изгиба рассчитывается путём решения уравнения Пуассона (обычно он близок к параболическому).

Зонная диаграмма p-n-перехода в равновесии.

Зонная диаграмма p-n-перехода.

Зонная диаграмма барьера Шоттки.

Зонная диаграмма полупроводникового гетероперехода.

Зонные диаграммы системы МДМ.

Ниже представлены некоторые примеры реальных систем: p-n-перехода (стыка двух областей одного материала с разными типами легирования), контакта металл—полупроводник (барьера Шоттки), полупроводникового гетероперехода (аналогичного тому, который представлен в предыдущем разделе) и системы МДМ (металл—диэлектрик—металл).

Если напряжение не приложено, во всей системе наличествует единый уровень Ферми ${\displaystyle E_{F}}$. Если оно приложено, то возникают раздельные квазиуровни Ферми для электронов и дырок, сливающиеся за пределами области стыка. Точные координатные зависимости квазиуровней могут быть рассчитаны.

В случае p-n-перехода, помимо ${\displaystyle E_{c}}$, ${\displaystyle E_{v}}$, цветом отмечена область изгиба зон, называемая обеднённой. Параметр ${\displaystyle \varphi _{B}}$ — это встроенный потенциал, возникающий без приложения внешнего напряжения. Также схематично изображены заряженные (принявшие электрон) акцепторы и заряженные (потерявшие электрон) доноры в области обеднения. На диаграмме при ненулевом напряжении ${\displaystyle V_{R}}$ ещё представлены профили квазиуровней Ферми ${\displaystyle E_{Fn}}$, ${\displaystyle E_{Fp}}$.

В случае контакта Шоттки обозначение ${\displaystyle \Phi _{B}}$ несёт иной смысл: это высота барьера, образовавшегося из-за требования отсутствия скачка уровня вакуума. Степень легирования полупроводника не влияет на ${\displaystyle \Phi _{B}}$, но влияет на величину и крутизну изгиба зон в полупроводнике. Интенсивностью серого цвета помечено заполнение электронами состояний с соответствующими энергиями: ниже ${\displaystyle E_{F}}$ заполнение близко к стопроцентному, а выше уровня Ферми оно сходит на ноль. Для металла края зон не показаны (запрещённой зоны в металле нет и разрешены состояния с любой энергией).

Заполнение состояний электронами также помечено для гетероперехода. Значимой деталью для этой диаграммы является то, что соотношение наклонов ${\displaystyle E_{c}(x)}$ в месте стыка должно соответствовать обратному отношению диэлектрических проницаемостей сред ввиду граничных условий, вытекающих из уравнений Максвелла.

Диаграммы системы МДМ (работа выхода металла одинакова слева и справа) иллюстрируют ситуацию, когда при приложении напряжения возникает наклон зоны проводимости (валентная зона здесь не показана, она находится ниже рисунка и наклоняется параллельно ${\displaystyle E_{c}(x)}$). Дополнительно стрелкой отмечено направление туннелирования и затем релаксации электронов (подобная вспомогательная информация часто наносится на такие диаграммы). Горизонтальные линии, завершающие штриховку сверху, — это уровни Ферми слева и справа от диэлектрического барьера.

Выше, на рисунке для p-n-перехода при ${\displaystyle V_{R}\neq 0}$ подразумевалось, что сопротивление среды не слишком велико. В противном случае далеко слева и справа от стыка областей не могли бы формироваться горизонтальные участки зон — и ситуация трансформировалась бы в похожую на ту, которая изображена для МДМ-системы.

Все представленные диаграммы построены схематично. Дополнительной особенностью является то, что увеличение концентрации примесей всегда приводит к сужению областей изгиба и одновременному повышению величины поля на стыках.

Иногда возникает понятийная путаница между зонной диаграммой и зонной структурой, тем более что постоянно встречаются вполне корректные выражения типа «зонная диаграмма такой-то структуры».

Различие в том, что если на зонной диаграмме по горизонтали откладывается координата, то при представлении зонной структуры аргументом выступает волновой вектор электрона ${\displaystyle {\vec {k}}}$, вернее, какая-то его компонента, скажем ${\displaystyle k_{x}}$. Назначение изображений структуры зон (см. пример) в том, чтобы показать, применительно к конкретному веществу, как связана энергия электрона ${\displaystyle E}$ с его волновым вектором ${\displaystyle {\vec {k}}}$ в диапазонах энергии, лежащих выше ${\displaystyle E_{c}}$ или ниже ${\displaystyle E_{v}}$. При работе же с зонными диаграммами можно лишь понять, что эти диапазоны являются вообще «разрешёнными» — без детализации.