Дзета-функция Хассе — Вейля

Дзета-функция Хассе-Вейля, присоединенная к алгебраическому многообразию ${\displaystyle V}$, определённому над полем алгебраических чисел ${\displaystyle K}$, является одним двух наиболее важных типов L-функций. Такие L-функции называются глобальными, поскольку они определяются как произведение Эйлера локальных дзета-функций. Они образуют один из двух основных классов глобальных L-функций, а другой — L-функции, связанные с автоморфными представлениями. Гипотетически предполагается, что существует только один существенный тип глобальной L-функции с двумя описаниями (одно из них исходит из алгебраического многообразия, другое — из автоморфного представления); это было бы обширным обобщением гипотезы Таниямы-Симуры, самого глубокого и недавнего результата (на 2009-й год) в теории чисел.

Описание дзета-функции Хассе-Вейля с точностью до конечного числа множителей его эйлерового произведения относительно просто. Это получилось из начальных рассмотрений Хассе и Вейля, мотивированными случаем, когда ${\displaystyle V}$ — это единственная точка, а дзета-функция Римана.

Взяв случай ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ и ${\displaystyle V}$ — неособое проективное многообразие, мы можем для почти всех простых чисел ${\displaystyle p}$ рассмотреть редукцию ${\displaystyle V}$ по модулю ${\displaystyle p}$, то есть алгебраическое многообразие ${\displaystyle V_{p}}$ над конечным полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Для почти всех ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V_{p}}$ будет неособым. Мы определяем ${\displaystyle Z_{V/\mathbb {Q} }(s)}$как ряд Дирихле комплексной переменной ${\displaystyle s}$, который является бесконечным произведением по всем простым числам локальных дзета-функций ${\displaystyle \zeta _{V,p}(p^{-s})}$. Тогда ${\displaystyle Z(s)}$, согласно нашему определению, хорошо определено только с точностью до умножения на рациональную функцию от в конечного числа аргументов вида ${\displaystyle p^{-s}}$.

Так как эта неопределённость относительно безвредна и имеет мероморфное продолжение всюду, то существует смысл, в котором свойства ${\displaystyle Z(s)}$ существенно не зависят от него. В частности, хотя точная форма функционального уравнения для ${\displaystyle Z(s)}$, определенно будет зависеть от пропущенных множителей, но существование такого функционального уравнения от этих множителей зависеть не будет.

Более четкое определение дзета-функции Хассе-Вейля стало возможным благодаря развитию этальных когомологий; они аккуратно объясняют, что делать с недостающими множителями с плохой редукцией. В соответствии с общими принципами, видимыми в теории ветвления, простые с плохой редукцией несут хорошую информацию (теория кондуктора). Это проявляется в теории эталей в критерий Огга-Нерона-Шафаревича для хорошей редукции, а именно, что в определенном смысле существует хорошая редукция во всех простых числах ${\displaystyle p}$, для которых представление Галуа ${\displaystyle \rho }$ на этальной когомологии группы ${\displaystyle V}$ является неразветвлённым. Для них определение локальной дзета-функции можно восстановить в терминах характеристического многочлена ${\displaystyle \rho (\operatorname {Frob} (p)),}$ где ${\displaystyle \operatorname {Frob} (p)}$ — эндоморфизм Фробениуса для ${\displaystyle p}$. Что происходит при разветвленном ${\displaystyle p}$, так это то, что ${\displaystyle \rho }$ нетривиально в группе инерции ${\displaystyle I(p)}$. Для таких простых определение должно быть исправлено, взяв наибольшее частное от представления ${\displaystyle \rho }$, на котором группа инерции действует тривиальным представлением. С этим уточнением определение ${\displaystyle Z(s)}$ может быть успешно модернизировано с почти всех ${\displaystyle p}$ до всех ${\displaystyle p}$, участвующих в произведении Эйлера. Следствия из функционального уравнения были разработаны Серром и Делинем в конце 1960-х годов; само функциональное уравнение вообще не доказано.

Пусть ${\displaystyle E}$ — эллиптическая кривая над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ c кондуктором ${\displaystyle N}$, а ${\displaystyle p}$ — произвольное простое число. Тогда ${\displaystyle E}$ имеет хорошую редукцию при всех ${\displaystyle p}$, не делящих ${\displaystyle N}$, имеет мультипликативную редукцию в случае, если ${\displaystyle p}$ делит ${\displaystyle N}$, но ${\displaystyle p^{2}}$ не делит ${\displaystyle N}$, и имеет аддитивную редукцию в прочих случаях (то есть если ${\displaystyle p^{2}}$ делит ${\displaystyle N}$). Тогда дзета-функция Хассе-Вейля от ${\displaystyle E}$ принимает вид

${\displaystyle Z_{E/\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(s,E)}}.\,}$

Здесь ${\displaystyle \zeta (s)}$ — обычная дзета-функция Римана, а ${\displaystyle L(s,E)}$ называется L — функцией ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$, которая имеет вид

${\displaystyle L(s,E)=\prod \limits _{p}L_{p}(s,E)^{-1}\,}$

где для данного ${\displaystyle p}$,

${\displaystyle L_{p}(s,E)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{ если }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{ если }}p\mid N{\text{ и }}p^{2}\nmid N\\1,&{\text{ если }}p^{2}\mid N\end{cases}}}$

где, в случае хорошего редукции ${\displaystyle a_{p}=p+1-{\text{число точек в }}E{\bmod {p}}}$, а в случае мультипликативной редукции ${\displaystyle a_{p}=\pm 1}$ в зависимости от того, разделен ли ${\displaystyle E}$ или нерасщепленной мультипликативной редукцией в ${\displaystyle p}$.

Гипотеза Хассе-Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе-Вейля должна аналитически продолжаться на мероморфную функцию на всю комплексную плоскость и должна удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному функциональному уравнению для дзета-функции Римана. Для эллиптических кривых над рациональными числами гипотеза Хассе-Вейля следует из теоремы модулярности.

• Арифметическая дзета-функция

• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы = Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — Новокузнецк: ИО НФМИ, 2000. — С. 99. — 312 с. — ISBN 5-8032-3325-0.
• [Сб. работ под редакцией Дж.Берштайна и Ст.Гелбарта Введение в программу Ленглендса] = An Introduction to the Langlands Program. — Москва, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2008. — С. 118. — 368 с. — ISBN 978-5-93972-697-9.