Локальная дзета-функция

Пусть ${\displaystyle V}$ — аффинное или проективное многообразие над конечным полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Конгруэнц-дзета-функция многообразия ${\displaystyle V}$ над ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ определяется как формальный степенной ряд

${\displaystyle Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right)}$,

где ${\displaystyle \exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!}}}$, а ${\displaystyle N_{k}}$ — число точек ${\displaystyle V}$, лежащих в ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{k}}}$. Числа ${\displaystyle N_{k}}$ конечны в силу конечности любого аффинного или проективного многообразия конечной размерности над конечным полем.

Локальной дзета-функцией называется функция ${\displaystyle \zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})}$, здесь ${\displaystyle p}$ — характеристика поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ — комплексная переменная.

Возьмем уравнение ${\displaystyle x=0}$, геометрически это означает, что ${\displaystyle V}$ — это просто точка. В этом случае все ${\displaystyle N_{k}=1}$. Тогда

${\displaystyle Z(V,t)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp(-\ln(1-T))={\frac {1}{1-T}}}$

Пусть ${\displaystyle V}$ — проективная прямая ${\displaystyle 0x=0}$ над ${\displaystyle F}$. Если ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q^{k}}}$, то ${\displaystyle V}$ имеет ${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$ точку: все точки поля и бесконечную точку. Следовательно

${\displaystyle Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(qT)^{k}}{k}}+{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp \left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)={\frac {1}{(1-T)(1-qT)}}}$

• ${\displaystyle Z(X,T)}$ представляется в виде бесконечного произведения

${\displaystyle Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},}$

где ${\displaystyle x}$ пробегает все замкнутые точки ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle \deg x}$ — степень ${\displaystyle x}$. В случае, если ${\displaystyle X=V}$, которое обсуждалось выше, то замкнутые точки — это классы эквивалентности ${\displaystyle x=[P]}$ точек ${\displaystyle P\in {\overline {V}}}$, где две точки эквивалентны, если они сопряжены над полем ${\displaystyle F}$. Степень ${\displaystyle x}$ — это степень расширения поля ${\displaystyle F}$, порождённого координатами ${\displaystyle P}$. Тогда логарифмическая производная бесконечного произведения ${\displaystyle Z(X,T)}$ будет равна производящей функции

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

• Если ${\displaystyle E}$ — эллиптическая кривая, то в этом случае дзета-функция равна

${\displaystyle Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)}}}$

• Если ${\displaystyle (\forall k)N_{k}<CA^{k}}$, то ${\displaystyle Z(T)}$ сходится в открытом круге радиуса ${\displaystyle R=A^{-1}}$.

• Если ${\displaystyle N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)}}$, причем ${\displaystyle Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)}$ — соответствующие дзета-функции, то ${\displaystyle Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)}$.

• Если ${\displaystyle N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\alpha _{s}^{k}}$, то ${\displaystyle Z(T)={\frac {(1-\alpha _{1}T)...(1-\alpha _{s}T)}{(1-\beta _{1}T)...(1-\beta _{t}T)}}}$.

L-функция Хассе-Вейля определяется через конгруэнц-дзета-функцию следующим образом

${\displaystyle L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p},p^{-s})}}}$

Если ${\displaystyle C}$ — проективная неособая кривая над ${\displaystyle F}$, то можно показать, что

${\displaystyle Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)}}\ ,}$

где ${\displaystyle P(t)}$ — многочлен степени ${\displaystyle 2g}$, где ${\displaystyle g}$ — род кривой ${\displaystyle C}$. Представим

${\displaystyle P(t)=\prod \limits _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}$

тогда гипотеза Римана для кривых над конечными полями утверждает, что

${\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}}$

Для локальной дзета-функции это утверждение равносильно тому, что вещественная часть корней ${\displaystyle \zeta (X,s)}$ равна ${\displaystyle 1/2}$.

К примеру, для эллиптической кривой получаем случай, когда существуют ровно 2 корня, и тогда можно показать, что абсолютные значения корня равны ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$. Этот случай эквивалентен теореме Хассе об оценке числа точек кривой в конечном поле.

Из формулы следа Лефшеца для морфизма Фробениуса получается, что

${\displaystyle Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2\dim X}\det(1-T\operatorname {Frob} _{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }))^{(-1)^{i+1}}.}$

Здесь ${\displaystyle X}$ — отделимая схема конечного типа над конечным полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, and ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{q}}$ — геометрическое действие Фробениуса на ${\displaystyle \ell }$-адической этальной когомологии с компактным носителем ${\displaystyle {\overline {X}}}$. Это показывает, что данная дзета-функция является рациональной функцией ${\displaystyle T}$.

• Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 428 с.
• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — М.: Мир, 1988. — 319 с.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. — 597 с.

• Дзета-функции
• Гипотезы Вейля
• Эллиптическая кривая
• Этальные когомологии