Дебаевская длина

В системе из ${\displaystyle N}$ различных типов частиц частицы ${\displaystyle j}$-й разновидности переносят заряд ${\displaystyle q_{j}}$ и имеют концентрацию ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ в точке ${\displaystyle \mathbf {r} }$. В первом приближении эти заряды можно рассматривать как непрерывную среду, характеризующуюся только своей диэлектрической проницаемостью ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$. Распределение зарядов в такой среде создаёт электрическое поле с потенциалом ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$, удовлетворяющим уравнению Пуассона:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} ),}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — диэлектрическая постоянная.

Подвижные заряды не только создают потенциал ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$, но также движутся под действием кулоновской силы ${\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$. В дальнейшем будем считать, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом с температурой ${\displaystyle T}$, тогда концентрации зарядов ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ могут быть рассмотрены как термодинамические величины, а соответствующий электрический потенциал — как соответствующий самосогласованному полю. В этих допущениях концентрация ${\displaystyle j}$-й разновидности частиц описывается Больцмановским распределением:

${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}\right),}$

где ${\displaystyle n_{j}^{0}}$ средняя концентрация зарядов типа ${\displaystyle j}$. Взяв в уравнении Пуассона вместо мгновенных значений концентрации и поля их усреднённые значения, получаем уравнение Пуассона — Больцмана:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}\right).}$

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Более общее решение может быть получено в пределе слабой связи (${\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll kT}$) разложением экспоненты в ряд Тейлора:

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}.}$

В результате чего получается линеаризованное уравнение Пуассона — Больцмана

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,kT}}\right)\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j},}$

также известное как уравнение Дебая — Хюккеля.[1][2][3][4][5] Второе слагаемое в правой части уравнения исчезает в случае электронейтральности системы. Слагаемое в скобках имеет размерность обратного квадрата длины, что естественным образом приводит нас к определению характерной длины

${\displaystyle \lambda _{\text{D}}=\left({\frac {\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,kT}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2},}$

обычно называемой дебаевским радиусом (или дебаевской длиной). Все типы зарядов вносят положительный вклад в дебаевскую длину вне зависимости от их знака.

(Источник: Глава 19: The Particle Kinetics of Plasma)

• Двойной электрический слой

• Арцимович Л. А. Элементарная физика плазмы. — 3-е изд. — М.: Атомиздат, 1969. — 189 с.