Вычисление координат пересечений кругов равных высот светил

Вычисление координат точек пересечения кругов равных высот светил — предложенный Гауссом аналитический метод определения географических координат местоположения наблюдателя по измеренным высотам двух светил и их склонениям и часовым углам, без графических построений на карте. Используется в астрономической навигации наряду с методом Сомнера и методом переносов (метод Сент-Илера). В случае невозможности определить время наблюдения метод позволяет, тем не менее, вычислить географическую широту местоположения наблюдателя.

P — полюс мира, Z — зенит наблюдателя, Horizon — горизонт наблюдателя. σ1 и σ2 — светила, h1, h2 — их наблюдённые высоты, tm1 и tm2 — их местные часовые углы. Greenwich — гринвичский меридиан, tG1 — гринвичский часовой угол первого светила. LoP1 и LoP2 — круги равных высот светил (или высотные линии положения, ВЛП). Точки Fix1 и Fix2 пересечений ВЛП — возможные местоположения наблюдателя согласно обсервации. Точка (φcc) — место согласно счислению.

В общем случае данный метод не требует знания счислимого места, , так как обсервация третьего светила позволяет устранить неоднозначность определения места по первым двум. Если пронаблюдать третье светило невозможно, для решения неоднозначности рекомендуется измерить азимуты наблюдаемых светил, чтобы сравнить их с вычисленными для обеих точек пересечения. Приемлема точность взятия азимутов ±10°.

Исходные данные

Для некоторого момента времени наблюдением получены высоты двух светил над горизонтом, и соответственно[1]. Также, из альманаха, выяснены относящиеся к этому моменту их склонения, и ; и гринвичские часовые углы, и . Северное склонение и восточная долгота считаются положительными величинами, южное склонение и западная долгота — отрицательными, в вычислениях соблюдать соглашение о знаках величин обязательно.

Если выбранными светилами являются звёзды, у которых величины склонений и прямых восхождений можно принять неизменными в течение суток, вместо гринвичских часовых углов допустимо использовать выраженные в угловой мере значения их прямых восхождений, , или звёздные дополнения, . В этом случае географическая широта местоположения наблюдателя вычисляется без знания точного момента времени наблюдения светил.

Ход вычислений

Рассмотрим параллактические треугольники и , где  — северный полюс мира, и  — наблюдаемые светила,  — зенит наблюдателя. и  — зенитные расстояния светил.

На первом этапе вычислений (определение широты) требуется величина часового угла между светилами, , которая в случае наблюдения планет, Солнца или Луны должна быть получена из их гринвичских часовых углов:

При наблюдении звёзд эта величина может быть получена из значений их прямых восхождений:

Из звёздных дополнений:

Действительные величины гринвичских часовых углов понадобятся на шаге вычисления долготы.

По теореме косинусов

  • Угловое расстояние между светилами, :
  • Переменная часть параллактического угла, , от первого светила к наблюдателю:

Наблюдатель может находиться в одной из двух точек, или , расположенных симметрично относительно дуги , действительное значение паралактического угла может быть суммой или разностью углов и .

  • Широта первого пересечения, :
  • Широта второго пересечения, :

На основании приблизительной оценки текущего местоположения наблюдателя производится выбор значения широты, , ближайшего к ожидаемому. Дальнейшие вычисления производятся с ним.

Знак угла можно определить и без попытки вычисления обоих значений широты. Достаточно свериться с видом треугольника : если счислимое место и повышенный полюс мира находятся по одну сторону дуги , величину следует брать со знаком минус, если счислимое место и полюс мира находятся по разные стороны, — величину следует брать со знаком плюс.

Так как функция всегда возвращает значения углов в диапазоне , действительная величина местного часового угла, , определяется положением светила относительно меридиана наблюдателя: если оно западнее, то , если восточнее, то .

В случае близости светила к меридиану наблюдателя — уверенно определить восточный у него азимут или западный бывает сложно, особенно для светил, расположенных около зенита. Для выбора действительного значения часового угла следует вычислить высоту второго светила, ожидаемую при обоих возможных значениях , и сравнить с наблюдённой величиной .

 — местный часовой угол второго светила при основном значении функции
 — местный часовой угол второго светила при втором возможном значении входной величины
 — вычисленная высота второго светила для места
 — вычисленная высота второго светила для места

Вычисление долготы производится с тем значением часового угла, , первого светила, при котором вычисленная, , и наблюдённая, , высота второго светила согласуются.

  • Долгота выбранного пересечения кругов равных высот, :

Географические координаты и местоположения наблюдателя на момент времени определены.

Решение неоднозначности

Если для обсервации были доступны только два светила, например, Солнце и Луна, и устранить неоднозначность выбора координат обсервацией третьего светила невозможно, а счислимое место неизвестно даже приблизительно, надлежит вычислить азимуты одного из светил для обоих пересечений и сравнить их с наблюдёнными значениями.

  • Азимут светила, :

Для выбора правильного значения широты (и, в дальнейшем, — долготы), достаточно иметь оценку азимута наблюдённого светила с допуском ±10°.

С помощью гаверсинусов

Координаты точек пересечений, по тем же исходным данным, можно вычислить[2] с помощью единственной тригонометрической функции — гаверсинус угла, . Для получения точности координат в одну угловую минуту пригодна 4-значная таблица натуральных значений гаверсинусов[3], что позволяет произвести расчёты без применения электронных калькуляторов или таблиц логарифмов значений нескольких тригонометрических функций.

  • Вспомогательные величины и :
  • Угловое расстояние между светилами, :

Полярное расстояние всегда отсчитывается от северного полюса мира.

  • Вспомогательные величины , , , , и :
  • Вспомогательный угол :
  • Вспомогательный угол :
  • Вспомогательный угол , относящийся к первой точке пересечения кругов равной высоты:
  • Угол, дополнительный к широте, , и широта первой точки пересечения, :

Если полученное значение широты не согласуется с приближённой оценкой текущего местоположения наблюдателя, вычисляется широта второй точки пересечения кругов равной высоты:

Дальнейшие вычисления производятся с выбранным значением .

  • Вспомогательные величины и :

Так как функция всегда возвращает значения углов в диапазоне , действительная величина местного часового угла, , определяется положением светила относительно меридиана наблюдателя: если оно западнее, то , если восточнее, то .

В случае близости светила к меридиану наблюдателя — уверенно определить восточный у него азимут или западный бывает сложно, особенно для светил, расположенных около зенита. Для выбора значения часового угла следует вычислить высоту второго светила, ожидаемую при обоих возможных значениях, и сравнить с наблюдённой величиной .

 — местный часовой угол второго светила при основном значении функции
 — местный часовой угол второго светила при втором возможном значении входной величины

Дуга  — зенитное расстояние второго светила, вычисленное для места .

 — вычисленная высота второго светила.

Вычисление долготы производится с тем значением часового угла, , первого светила, при котором вычисленная, , и наблюдённая, , высота второго светила согласуются.

  • Долгота точки пересечения, :

Географические координаты и местоположения наблюдателя на момент времени определены.

Решение неоднозначности

Если для обсервации были доступны только два светила, например, Солнце и Луна, и устранить неоднозначность выбора координат обсервацией третьего светила невозможно, а счислимое место неизвестно даже приблизительно, надлежит вычислить азимуты одного из светил для обоих пересечений и сравнить их с наблюдёнными значениями.

  • Угловое расстояние светила от повышенного полюса, :
  • Азимут светила, :

Для выбора правильного значения широты (и, в дальнейшем, — долготы), достаточно иметь оценку азимута наблюдённого светила с допуском ±10°.

Примечания

  1. Если высоты светил измерены не одновременно, необходимо исправить высоту одного из них приведением к одному моменту, если наблюдатель находился в движении, дополнительно требуется приведение высоты к одному зениту.
  2. Lars Bergman, All-Haversine fix
  3. 4-значная таблица натуральных значений гаверсинусов, PDF, 51кБ

Ссылки

Литература

  • Капитан 3 ранга А. Лусис, Определение места по звёздам усовершенствованным методом высотных изолиний, «Морской сборник» 1988 № 12, стр.65
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.