Бигармоническая функция

Бигармоническая функция — функция ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ действительных переменных, определённая в области D евклидового пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\,n\geq 2}$, имеющая непрерывные частные производные 4-го порядка включительно, и удовлетворяющая в D уравнению:

${\displaystyle \nabla ^{4}f=\Delta ^{2}f=0}$

где ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла, ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа.

Данное уравнение называется бигармоническим уравнением. В декартовой системе координат в случае трёх переменных уравнение имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}f}{\partial z^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y^{2}\partial z^{2}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{2}\partial z^{2}}}=0.}$

В полярных координатах:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}f}{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0.}$

Класс бигармонических функций включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая бигармоническая функция является аналитической функцией координат x_i.

Наибольшее значение с точки зрения практических применений имеют бигармонические функции ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$ двух переменных. Такие бигармонические функции записываются с помощью гармонических функций f₁, f₂ или g₁, g₂ в виде

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}f_{1}(x_{1},x_{2})+f_{2}(x_{1},x_{2})}$

или

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(r^{2}-r_{0}^{2})g_{1}(x_{1},x_{2})+g_{2}(x_{1},x_{2})}$

где ${\displaystyle r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2},}$ а ${\displaystyle r_{0}^{2}}$ — константа.

Основная краевая задача для бигармонических функций заключается в следующем: найти бигармоническую функцию в области D, непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D}}=D\cup C}$ , удовлетворяющую на границе C условиям

${\displaystyle f|_{C}=f_{1}(s),\quad {\frac {\partial f}{\partial \nu }}{\Bigg |}_{C}=f_{2}(s)}$

где ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \nu }}}$ — производная по нормали до C, f₁(s), f₂(s) — заданные непрерывные функции длины дуги s на контуре C.

Указанные выше представления бигармонических функций позволяют получить решения краевой задачи в явному виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармонических функций.

Бигармонические функции двух переменных допускают также запись

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=\operatorname {Re} ({\bar {z}}\phi (z)+\psi (z))={\frac {1}{2}}({\bar {z}}\phi (z)+z{\overline {\phi (z)}}+\psi (z)+{\overline {\psi (z)}}),\quad {\bar {z}}=x_{1}-ix_{2}}$

с помощью двух аналитических функций ${\displaystyle \phi (z),\psi (z)}$ комплексной переменной ${\displaystyle z=x_{1}+ix_{2}}$. Это представление позволяет свести краевую задачу для произвольной области D к системе краевых задач для аналитических функций, метод решения которой детально разработан Р. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении разных плоских задач теории упругости, в которых основным бигармоническими функциями являются функция напряжений и функция Эйри.