Аменабельная группа
Аменабельная группа — локально компактная топологическая группа G, в которой возможно ввести операцию усреднения на ограниченных функциях на этой группе, инвариантную относительно умножения на любой элемент группы.
История
Понятие было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («измеримый»). Мотивировкой послужил парадокс удвоения шара.
Изначальное определение было дано в терминах конечно-аддитивной инвариантной меры на подмножествах группы G.
В 1949 году Махлон Дэй ввёл в употребление термин аменабельный (от английского «послушный»), которое закрепилось[1].
Определение для локально компактных групп
Рассмотрим локально компактную хаусдорфову группу G с её мерой Хаара . Рассмотрим банахово пространство в L∞(G) ограниченных измеримых функций.
Определение 1. Линейный функционал Λ в Hom(L∞(G), R) называется усреднением, если Λ имеет норму 1 и неотрицателен, то есть f ≥ 0 почти везде влечёт Λ(f) ≥ 0.
Определение 2. Усреднение Λ в Hom(L∞(G), R) называется левоинвариантным (соответственно, правоинвариантным), если Λ(g·f) = Λ(f) для всех g в G, и f в L∞(G) по отношению к левому (соответственно, правому) сдвигу g·f(x) = f(g−1·х)(соответственно, f·g(x) = f(х·g−1)).
Определение 3. Локально компактная хаусдорфова группа называется аменабельной, если она допускает левoинвариантнoe (или правоинвариантное) усреднение.
Эквивалентные условия
- Наличие фиксированной точки. Любое действие группы аффинными преобразованиями на компактном выпуклом подмножестве сепарабельного локально выпуклого топологического векторного пространства имеет неподвижную точку.
- Критерий Дэя. Существует последовательность интегрируемых неотрицательных функций φn с интегралом 1 на G такая, что g·φn − φn стремится к 0 в слабой топологии на L1(G).
- Критерий Рейтера. Для любого конечного (или компактного) подмножества F в G существует интегрируемая неотрицательная функция φ с интегралом 1 такая, что g·φ − φ является сколь угодно малой в L1(G) для любого g из F.
- Критерий Гликсберга — Райтера. Для любой f в L1(G), расстояние между 0 и замкнутой выпуклой оболочкой в L1(G) левых сдвигов f равно |∫f|.
- Критерий Фёлнера. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F в G существует измеримое подмножество U в G с конечной положительной мерой Хаара такое, что значение сколь угодно близко к 1.
- Критерий Кестена. Левая свертка на L2(G) с симметричной вероятностной мерой на G дает оператор оператор нормы 1.
- Гомологический критерий Джонсона. Банахова алгебра А = L1(G) аменабельна как Банахова алгебра.
Случай дискретных групп
Определение аменабельности проще в случае дискретной группы[2], то есть когда группа оснащена дискретной топологией.
Определение. Дискретная группа G аменабельна, если существует левоинвариантная конечно-аддитивная вероятностная мера μ на G.
Это определение эквивалентно определению в терминах L∞(G), данному выше.
Мера μ на G позволяет определить интеграл ограниченных функций на G. Для ограниченной функции f: G → R, интеграл
определяется как в случае интеграла Лебега. (Обратите внимание, что некоторые свойства интеграла Лебега не выполняются, так как наша мера только конечно-аддитивна.)
Если группа допускает левоинвариантную меру, то она также допускает би-инвариантную меру. Действительно, по левоинвариантной мере μ строится правоинвариантная мера μ−(A) = μ(A−1). Эти две меры определяют би-инвариантную меру следующим образом:
Эквивалентные условия для аменабельных групп также становятся проще в случае счетной дискретной группы Γ . Для такой группы следующие условия эквивалентны:[3]
- Γ аменабельна.
- Существует левоинвариантный непрерывный функционал μ на ℓ∞(Γ) с μ(1) = 1.
- Существует множество вероятностных мер μn на Γ таких, что ||g · μn — μn||1 стремится к 0 для каждого g в Γ.
- Существуют единичные векторы хn в ℓ2(Γ) такие, что ||g · хn − хn||2 стремится к 0 для каждого g в Γ.
- Существуют конечные подмножества Sn из Γ такие, что |g · Sn Δ Sn| / |Sn| стремится к 0 для каждого g в Γ.
- Если μ является симметричной вероятностной мерой на Γ с системой образующих как носителем, то свёртка по μ определяет оператор нормы на 1 в ℓ2(Γ).
- Если Γ действует изометриями на сепарабельном банаховом пространстве Е, и f в ℓ∞(Γ, Е*) — ограниченный 1-коцикл, то есть f(g·h) = f(g) +g·f(h), тогда f — 1-кограница, то есть f(g) = g·φ − φ для некоторого φ в Е*.
Свойства
- Замкнутая подгруппа аменабельной группы аменабельна.
- Факторгруппа аменабельной группы аменабельна.
- Расширение аменабельной группы аменабельно.
- В частности, конечное прямое произведение аменабельных групп аменабельно. Тем не менее, бесконечное произведения не обязаны быть аменабельными.
- Прямые пределы аменабельных групп аменабельны.
- В частности, если группа может быть записана в виде объединения возрастающей последовательности аменабельных подгрупп, то она аменабельна.
Примеры
- Компактные группы аменабельны.
- В частности, конечные группы аменабельны.
- Все разрешимые группы аменабельны. В частности,
- все абелевы группы аменабельны.
- группа целых чисел аменабельна.
Примеры выше называются элементарными аменабельными группами. Они строятся из конечных и абелевых групп с помощью стандартного набора операций. Существование неэлементарных аменабельных групп гарантируется следующим примером.
- Конечно порожденные группы субэкспоненциального роста аменабельны.
Контрпримеры
- Счётная дискретная группа, содержащая свободную подгруппу с двумя образующими, неаменабельна.
- Обратное утверждение является гипотезой фон Неймана, она была опровергнута Ольшанским в 1980 году с помощью его монстров Тарского.
- Адян впоследствии показал, что свободные бёрнсайдовы группы неаменабельны.
- Эти группы конечно порождены, но не конечно представлены. В 2002 году Сапир и Ольшанский нашли примеры неаменабельных конечно представленных групп[4].
- Для конечно порожденных линейных групп гипотеза фон Неймана верна по теореме Титса[5]: в каждой подгруппе GL(n, k) над полем k либо есть нормальная разрешимая подгруппа конечного индекса (и, следовательно, группа аменабельна), либо содержится свободная подгруппа с двумя образующими.
- Обратное утверждение является гипотезой фон Неймана, она была опровергнута Ольшанским в 1980 году с помощью его монстров Тарского.
Связанные свойства
- Свойство (T) Каждана представляет собой, неформально говоря, полную противоположность аменабельности, за исключением случая компактных (в дискретном случае — конечных) групп[6].
- Софические группы обобщают одновременно аменабельные и остаточно конечные группы; неформально говоря, софическая группа локально хорошо приближается конечной группой, ср. с критерием Фёлнера. На 2021 год неизвестно, включает ли этот класс все дискретные счётные группы[7][8].
Примечания
- M. M. Day. Means on semigroups and groups // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1949. — Vol. 55. — P. 1054–1055.
- См. Greenleaf 1969, Pier 1984, Takesaki 2002a, Takesaki 2002b.
- Pier 1984
- Olshanskii, Alexander Yu.; Sapir, Mark V. Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups // Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.. — 2002. — Vol. 96. — P. 43–169. — doi:10.1007/s10240-002-0006-7.
- Tits, J. (1972), «Free subgroups in linear groups», J. Algebra 20 (2): 250—270, doi:10.1016/0021-8693(72)90058-0
- Bachir Bekka, Pierre de la Harpe and Alain Valette. Kazhdan’s Property (T). — Cambridge University Press, 2008. — P. 11. — ISBN 978-0-521-88720-5. — ISBN 978-0-511-39377-8.
- Laurent Bartholdi. Chapter 11. Amenability of Groups and G-Sets // Sequences, Groups, and Number Theory. — Birkhäuser, 2018. — P. 543. — ISBN 978-3-319-69151-0. — ISBN 978-3-319-69152-7.
- Lewis Bowen, Peter Burton. Locally compact sofic groups. — P. 3. — arXiv:2106.09118.
Ссылки
- Т.В. Нагнибеда. Аменабельность конечно порожденных групп // Общеинститутский семинар «Коллоквиум МИАН». — 2 ноября 2017.
- Brooks, Robert (1981), The fundamental group and the spectrum of the laplacian, Comment. Math. Helv. Т. 56: 581–598, DOI 10.1007/bf02566228
- Dixmier, Jacques (1977), C*-algebras (translated from the French by Francis Jellett), vol. 15, North-Holland Mathematical Library, North-Holland
- Greenleaf, F.P. (1969), Invariant Means on Topological Groups and Their Applications, Van Nostrand Reinhold
- Juschenko, Kate & Monod, Nicolas (2013), Cantor systems, piecewise translations and simple amenable groups, Annals of Mathematics Т. 178 (2): 775–787, DOI 10.4007/annals.2013.178.2.7
- Leptin, H. (1968), Zur harmonischen Analyse klassenkompakter Gruppen, Invent. Math. Т. 5: 249–254, DOI 10.1007/bf01389775
- Pier, Jean-Paul (1984), Amenable locally compact groups, Pure and Applied Mathematics, Wiley
- Runde, V. (2002), Lectures on Amenability, vol. 1774, Lecture Notes in Mathematics, Springer, ISBN 9783540428527
- Sunada, Toshikazu (1989), Unitary representations of fundamental groups and the spectrum of twisted Laplacians, Topology Т. 28: 125–132, DOI 10.1016/0040-9383(89)90015-3
- Takesaki, M. (2002a), Theory of Operator Algebras, vol. 2, Springer, ISBN 9783540422488
- Takesaki, M. (2002b), Theory of Operator Algebras, vol. 3, Springer, ISBN 9783540429142
- Valette, Alain (1998), On Godement's characterisation of amenability, Bull. Austral. Math. Soc. Т. 57: 153–158, DOI 10.1017/s0004972700031506
- von Neumann, J (1929), Zur allgemeinen Theorie des Maßes, Fund. Math. Т. 13 (1): 73–111, <http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm13/fm1316.pdf>