Алгоритм Харви — ван дер Хувена

Вопрос о существовании быстрых алгоритмов умножения целых чисел занимает важное место в теории сложности вычислений. Наиболее известные методы умножения, такие как умножение «в столбик» требуют ${\displaystyle O(n^{2})}$ арифметических операций. Впервые данная оценка была улучшена в 1960 году Анатолием Карацубой, предложившим алгоритм умножения со временем работы ${\displaystyle O(n^{\log _{2}3})}$[1]. В 1971 году Шёнхаге и Штрассен предложили алгоритм на основе быстрого преобразования Фурье со временем работы ${\displaystyle O(n\log n\log \log n)}$[2]. В той же работе ими была выдвинута гипотеза о том, что оптимальный алгоритм умножения требует ${\displaystyle O(n\log n)}$ элементарных операций. Однако долгое время оценка сверху, заданная алгоритмом Шёнхаге и Штрассена оставалась без улучшений. Только в 2007 году, спустя 36 лет, Мартин Фюрер предложил алгоритм со временем работы ${\displaystyle O(n\log n\cdot K^{\log ^{*}n})}$ для неуточнённой константы ${\displaystyle K>1}$, где ${\displaystyle \log ^{*}n}$ — итерированный логарифм[3]. В дальнейшем Харви и ван дер Хувен улучшили эту оценку сперва до ${\displaystyle O(n\log n\cdot 4^{\log ^{*}n})}$[4], а затем до ${\displaystyle O(n\log n)}$, таким образом подтверждая выдвинутую в гипотезе Шёнхаге и Штрассена оценку сверху[5]. Алгоритм имеет большое теоретическое значение, так как на нём достигается предположительная нижняя оценка на время работы алгоритмов умножения чисел в модели многоленточной машины Тьюринга. Однако практическое ускорение достигается лишь на числах, длина двоичной записи которых превосходит ${\displaystyle 2^{1729^{12}}\approx 2^{7\cdot 10^{38}}}$ бит, в то время как число частиц в наблюдаемой вселенной оценивается как ${\displaystyle 2^{270}}$[6].