Решето Аткина

Основная идея алгоритма состоит в использовании неприводимых квадратичных форм (представление чисел в виде ax² + by²). Предыдущие алгоритмы в основном представляли собой различные модификации решета Эратосфена, где использовалось представление чисел в виде редуцированных форм (как правило, в виде произведения xy).

В упрощённом виде алгоритм может быть представлен следующим образом:

• Все числа, равные (по модулю 60) 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56 или 58, делятся на 2 и поэтому заведомо не простые. Все числа, равные (по модулю 60) 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51 или 57, делятся на 3 и тоже не являются простыми. Все числа, равные (по модулю 60) 5, 25, 35 или 55, делятся на 5 и также не простые. Все эти остатки (по модулю 60) игнорируются.
  • Все числа, равные (по модулю 60) 1, 13, 17, 29, 37, 41, 49 или 53, имеют остаток от деления на 4, равный 1. Эти числа являются простыми тогда и только тогда, когда количество решений уравнения 4x² + y² = n нечётно и само число не кратно никакому квадрату простого числа (en:square-free integer).
  • Числа, равные (по модулю 60) 7, 19, 31, или 43, имеют остаток от деления на 6, равный 1. Эти числа являются простыми тогда и только тогда, когда количество решений уравнения 3x² + y² = n нечётно и само число не кратно никакому квадрату простого.
  • Числа, равные (по модулю 60) 11, 23, 47, или 59, имеют остаток от деления на 12, равный 11. Эти числа являются простыми тогда и только тогда, когда количество решений уравнения 3x² − y² = n (для x > y) нечётно и само число n не кратно никакому квадрату простого.
  • Отдельный шаг алгоритма вычёркивает числа, кратные квадратам простых чисел. Так как ни одно из рассматриваемых чисел не делится на 2, 3, или 5, то, соответственно, они не делятся и на их квадраты. Поэтому проверка, что число не кратно квадрату простого числа, не включает 2², 3², и 5².

По оценке авторов[2], алгоритм имеет асимптотическую сложность ${\displaystyle \mathop {O} {\big (}N/(\log \log N){\big )}}$ и требует ${\displaystyle \mathop {O} {\Big (}N^{{\frac {1}{2}}+\mathop {o} (1)}{\Big )}}$ битов памяти. Ранее были известны алгоритмы столь же асимптотически быстрые, но требующие существенно больше памяти[5][6]. Теоретически в данном алгоритме сочетается максимальная скорость работы при наименьших требованиях к памяти. Реализация алгоритма, выполненная одним из авторов, показывает достаточно высокую практическую скорость[4].

В алгоритме используется два вида оптимизации, которые существенно повышают его эффективность (по сравнению с упрощённой версией).

Ниже представлена реализация упрощённой версии на языке программирования C, иллюстрирующая основную идею алгоритма — использование квадратичных форм:

int limit = 1000;
int sqr_lim;
bool is_prime[1001];
int x2, y2;
int i, j;
int n;

// Инициализация решета
sqr_lim = (int)sqrt((long double)limit);
for (i = 0; i <= limit; ++i)
    is_prime[i] = false;
is_prime[2] = true;
is_prime[3] = true;

// Предположительно простые — это целые с нечётным числом
// представлений в данных квадратных формах.
// x2 и y2 — это квадраты i и j (оптимизация).
x2 = 0;
for (i = 1; i <= sqr_lim; ++i) {
    x2 += 2 * i - 1;
    y2 = 0;
    for (j = 1; j <= sqr_lim; ++j) {
        y2 += 2 * j - 1;
        
        n = 4 * x2 + y2;
        if ((n <= limit) && (n % 12 == 1 || n % 12 == 5))
            is_prime[n] = !is_prime[n];
        
        // n = 3 * x2 + y2; 
        n -= x2; // Оптимизация
        if ((n <= limit) && (n % 12 == 7))
            is_prime[n] = !is_prime[n];
        
        // n = 3 * x2 - y2;
        n -= 2 * y2; // Оптимизация
        if ((i > j) && (n <= limit) && (n % 12 == 11))
            is_prime[n] = !is_prime[n];
    }
}

// Отсеиваем кратные квадратам простых чисел в интервале [5, sqrt(limit)].
// (основной этап не может их отсеять)
for (i = 5; i <= sqr_lim; ++i) {
    if (is_prime[i]) {
        n = i * i;
        for (j = n; j <= limit; j += n)
            is_prime[j] = false;
    }
}

// Вывод списка простых чисел в консоль.
printf("2, 3, 5"); 
for (i = 6; i <= limit; ++i) {  // добавлена проверка делимости на 3 и 5. В оригинальной версии алгоритма потребности в ней нет.
    if ((is_prime[i]) && (i % 3 != 0) && (i % 5 !=  0))
        printf(", %d", i);
}

program atkin;
var is_prime:array[1..10001] of boolean; jj: int64;
procedure dosieve(limit: int64);
var i, k, x, y: int64; n: int64;
begin
  for i := 5 to limit do
    is_prime[i] := false;
  for x := 1 to trunc(sqrt(limit)) do
    for y := 1 to trunc(sqrt(limit)) do
    begin
      n := 4 * sqr(x) + sqr(y);
      if (n <= limit) and ((n mod 12 = 1) or (n mod 12 = 5)) then
        is_prime[n] := not is_prime[n];
      n := n - sqr(x);
      if (n <= limit) and (n mod 12 = 7) then
        is_prime[n] := not is_prime[n];
      n := n - 2 * sqr(y);
      if (x > y) and (n <= limit) and (n mod 12 = 11) then
        is_prime[n] := not is_prime[n];
    end;
  for i := 5 to trunc(sqrt(limit)) do
  begin
    if is_prime[i] then
    begin
      k := sqr(i);
      n := k;
      while n <= limit do
      begin
        is_prime[n] := false;
        n := n + k;
      end;
    end;
  end;
  is_prime[2] := true;
  is_prime[3] := true;
end;
begin
  dosieve(10000);
  for jj := 1 to 10000 do
    if is_prime[jj] then
      writeln(jj);
end.

• Решето Эратосфена
• Решето Сундарама