Перебор делителей

Алгоритм «Перебор делителей»

Обычно перебор делителей заключается в переборе всех целых (как вариант: простых) чисел от 2 до квадратного корня из факторизуемого числа n и в вычислении остатка от деления n на каждое из этих чисел. Если остаток от деления на некоторое число i равен 0, то i является делителем n. В этом случае либо n объявляется составным, и алгоритм заканчивает работу (если тестируется простота n), либо n сокращается на i и процедура повторяется (если осуществляется факторизация n). По достижении квадратного корня из n и невозможности сократить n ни на одно из меньших чисел n объявляется простым[1].

Для ускорения перебора часто не проверяются чётные делители, кроме числа 2, а также делители, кратные трём, кроме числа 3. При этом тест ускоряется в три раза, так как из каждых шести последовательных потенциальных делителей необходимо проверить только два, а именно вида 6·k±1, где k — натуральное число.

Худший случай, если перебор придется проводить от 2 до корня из n. Сложность данного алгоритма

${\displaystyle O(n^{1/2})}$

Для иллюстрации проведем перебор делителей числа n = 29. i — возможные делители n.

${\displaystyle [n^{1/2}]=5}$

Так как ни один из остатков деления 29 не равен 0, то 29 объявляется простым.

Пусть теперь n = 7399, тогда[2]

${\displaystyle [n^{1/2}]=86}$

Так как остаток деления 7399 на 7 равен 0, то 7399 не является простым.

В практических задачах данный алгоритм применяется редко ввиду его большой вычислительной сложности, однако его применение оправдано в случае, если проверяемые числа относительно невелики, так как данный алгоритм довольно легко реализуем[1].

• Решето Эратосфена
• Решето Сундарама
• Решето Аткина
• Тест простоты

• Lindsay N. Childs. A Concrete Introduction to Higher Algebra. — 3rd ed. — New York, 2009. — 603 p.
• Richard Crandall, Carl Pomerance. Prime numbers. A computational perspective. — 2nd ed. — New York, 2005. — 597 p.

• Javascript Prime Factor Calculator using trial division. Способен обрабатывать числа до 9×10¹⁵
• Факторизация (неопр.). wikia.