Алгоритм Беллмана — Форда

Дан ориентированный или неориентированный граф ${\displaystyle G}$ со взвешенными рёбрами. Длиной пути назовём сумму весов рёбер, входящих в этот путь. Требуется найти кратчайшие пути от выделенной вершины ${\displaystyle s}$ до всех вершин графа.

Заметим, что кратчайших путей может не существовать. Так, в графе, содержащем цикл с отрицательным суммарным весом, существует сколь угодно короткий путь от одной вершины этого цикла до другой (каждый обход цикла уменьшает длину пути). Цикл, сумма весов рёбер которого отрицательна, называется отрицательным циклом.

Решим поставленную задачу на графе, в котором заведомо нет отрицательных циклов.

Для нахождения кратчайших путей от одной вершины до всех остальных, воспользуемся методом динамического программирования. Построим матрицу ${\displaystyle A_{ij}}$, элементы которой будут обозначать следующее: ${\displaystyle a_{ij}}$ — это длина кратчайшего пути из ${\displaystyle s}$ в ${\displaystyle i}$, содержащего не более ${\displaystyle j}$ рёбер.

Путь, содержащий 0 рёбер, существует только до вершины ${\displaystyle s}$. Таким образом, ${\displaystyle A_{i0}}$ равно 0 при ${\displaystyle i=s}$, и ${\displaystyle +\infty }$ в противном случае.

Теперь рассмотрим все пути из ${\displaystyle s}$ в ${\displaystyle i}$, содержащие ровно ${\displaystyle j}$ рёбер. Каждый такой путь есть путь из ${\displaystyle j-1}$ ребра, к которому добавлено последнее ребро. Если про пути длины ${\displaystyle j-1}$ все данные уже подсчитаны, то определить ${\displaystyle j}$-й столбец матрицы не составляет труда.

Так выглядит алгоритм поиска длин кратчайших путей в графе без отрицательных циклов:

for ${\displaystyle v\in V}$
  do ${\displaystyle d[v]\gets +\infty }$
${\displaystyle d[s]\gets 0}$
for ${\displaystyle i\gets 1}$ to ${\displaystyle |V|-1}$
  do for ${\displaystyle (u,v)\in E}$
    if ${\displaystyle d[v]>d[u]+w(u,v)}$
      then ${\displaystyle d[v]\gets d[u]+w(u,v)}$
return ${\displaystyle d}$

Здесь ${\displaystyle V}$ — множество вершин графа ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle E}$ — множество его рёбер, а ${\displaystyle w}$ — весовая функция, заданная на рёбрах графа (возвращает длину дуги, ведущей из вершины ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle v}$), ${\displaystyle d}$ — массив, содержащий расстояния от вершины ${\displaystyle s}$ до любой другой вершины.

Внешний цикл выполняется ${\displaystyle |V|-1}$ раз, поскольку кратчайший путь не может содержать большее число рёбер, иначе он будет содержать цикл, который точно можно выкинуть.

Вместо массива ${\displaystyle d}$ можно хранить всю матрицу ${\displaystyle A}$, но это требует ${\displaystyle O(V^{2})}$ памяти. Зато при этом можно вычислить и сами кратчайшие пути, а не только их длины. Для этого заведем матрицу ${\displaystyle P_{ij}}$.

Если элемент ${\displaystyle A_{ij}}$ содержит длину кратчайшего пути из ${\displaystyle s}$ в ${\displaystyle i}$, содержащего ${\displaystyle j}$ рёбер, то ${\displaystyle P_{ij}}$ содержит предыдущую вершину до ${\displaystyle i}$ в одном из таких кратчайших путей (ведь их может быть несколько).

Теперь алгоритм Беллмана-Форда выглядит так:

for ${\displaystyle v\in V}$
  for ${\displaystyle i\gets 0}$ to ${\displaystyle |V|-1}$
    do ${\displaystyle A_{vi}\gets +\infty }$
${\displaystyle A_{s0}\gets 0}$
for ${\displaystyle i\gets 1}$ to ${\displaystyle |V|-1}$
  do for ${\displaystyle (u,v)\in E}$
    if ${\displaystyle A_{vi}>A_{u,i-1}+w(u,v)}$
      then ${\displaystyle A_{vi}\gets A_{u,i-1}+w(u,v)}$
           ${\displaystyle P_{vi}\gets u}$

После выполнения этого алгоритма элементы ${\displaystyle A_{i,j}}$ содержат длины кратчайших путей от ${\displaystyle s}$ до ${\displaystyle i}$ с количеством рёбер ${\displaystyle j}$, и из всех таких путей следует выбрать самый короткий. А сам кратчайший путь до вершины ${\displaystyle i}$ с ${\displaystyle j}$ рёбрами восстанавливается так:

while ${\displaystyle j>0}$
  ${\displaystyle p[j]\gets i}$
  ${\displaystyle i\gets P_{ij}}$
  ${\displaystyle j\gets j-1}$
return p

Алгоритм Беллмана-Форда позволяет очень просто определить, существует ли в графе ${\displaystyle G}$ отрицательный цикл, достижимый из вершины ${\displaystyle s}$. Достаточно произвести внешнюю итерацию цикла не ${\displaystyle |V|-1}$, a ровно ${\displaystyle |V|}$ раз. Если при исполнении последней итерации длина кратчайшего пути до какой-либо вершины строго уменьшилась, то в графе есть отрицательный цикл, достижимый из ${\displaystyle s}$. На основе этого можно предложить следующую оптимизацию: отслеживать изменения в графе и, как только они закончатся, сделать выход из цикла (дальнейшие итерации будут бессмысленны).

• R. Bellman: On a Routing Problem // Quarterly of Applied Mathematics. 1958. Vol 16, No. 1. C. 87-90, 1958.
• L. R. Ford, Jr., D. R. Fulkerson. Flows in Networks, Princeton University Press, 1962.

• Исследование операций
• Алгоритм Дейкстры

• Реализация алгоритма Форда-Беллмана на e-maxx.ru
• Реализация алгоритма Поиска отрицательного цикла на e-maxx.ru
• Псевдокод из книги «Introduction To Algorithms» (Thomas H Cormen,Charles E Leiserson,Ronald L Rivest,Clifford Stein)