Алгоритм Эдмондса — Карпа

1. Обнуляем все потоки. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.
2. В остаточной сети находим кратчайший путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.
3. Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
   1. На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью ${\displaystyle c_{\min }}$.
   2. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на ${\displaystyle c_{\min }}$, а в противоположном ему — уменьшаем на ${\displaystyle c_{\min }}$.
   3. Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.
4. Возвращаемся на шаг 2.

Чтобы найти кратчайший путь в графе, используем поиск в ширину:

1. Создаём очередь вершин О. Вначале О состоит из единственной вершины s.
2. Отмечаем вершину s как посещённую, без родителя, а все остальные как непосещённые.
3. Пока очередь не пуста, выполняем следующие шаги:
   1. Удаляем первую в очереди вершину u.
   2. Для всех дуг (u, v), исходящих из вершины u, для которых вершина v ещё не посещена, выполняем следующие шаги:
      1. Отмечаем вершину v как посещённую, с родителем u.
      2. Добавляем вершину v в конец очереди.
      3. Если v = t, выходим из обоих циклов: мы нашли кратчайший путь.
4. Если очередь пуста, возвращаем ответ, что пути нет вообще и останавливаемся.
5. Если нет, идём от t к s, каждый раз переходя к родителю. Возвращаем путь в обратном порядке.

Назовём расстоянием от вершины x до вершины у длину кратчайшего пути от x до y в остаточной сети, измеряемую числом рёбер. Если такого пути нет, будем считать расстояние бесконечным. Будем говорить, что y приблизилась к x (отдалилась от x), если расстояние от x до y уменьшилось (увеличилось). Будем говорить, что y ближе к x (дальше от x), чем z, если расстояние от x до y меньше (больше), чем расстояние от x до z.

Лемма. В ходе работы алгоритма ни одна вершина никогда не приближается к источнику. Доказательство. Пусть это не так, тогда при каком-то увеличении потока некоторые вершины приблизились к источнику. Назовём их неправильными. Выберем ту из неправильных вершин, которая после увеличения потока оказалась ближе всех к источнику (если таких больше одной, то любую из них). Обозначим выбранную вершину через v. Рассмотрим кратчайший путь от s до v. Обозначим предпоследнюю вершину на этом пути через u, таким образом, путь имеет вид ${\displaystyle s-\ldots -u-v}$. Поскольку u ближе к s, чем v, а v — ближайшая к s из неправильных вершин, то u — вершина правильная. Обозначив расстояния от s до u и v до и после увеличения потока соответственно через ${\displaystyle d_{u}\ }$, ${\displaystyle d_{u}^{'}}$, ${\displaystyle d_{v}\ }$, ${\displaystyle d_{v}^{'}}$, имеем:

${\displaystyle d_{v}^{'}<d_{v}}$

${\displaystyle d_{u}^{'}\geq d_{u}}$

${\displaystyle d_{v}^{'}=d_{u}^{'}+1}$,

откуда

${\displaystyle d_{v}\geq d_{u}+2}$

Следовательно, до увеличения потока дуга (u, v) отсутствовала в остаточной сети. Чтобы оно появилось, увеличивающий путь должен был содержать дугу (v, u). Но в алгоритме Эдмондса — Карпа увеличивающий путь всегда кратчайший, следовательно,

${\displaystyle d_{v}=d_{u}-1}$,

что противоречит предыдущему неравенству. Значит, наше предположение было неверным. Лемма доказана.

Назовём критическим то из рёбер увеличивающего пути, у которого остаточная пропускная способность минимальна. Оценим, сколько раз некое ребро (u, v) может оказываться критическим. Пускай это произошло на итерации ${\displaystyle t_{1}}$, а в следующий раз на итерации ${\displaystyle t_{2}}$. Обозначая через ${\displaystyle D_{y}(t)}$ расстояние от s до y на итерации t, имеем:

${\displaystyle D_{v}(t_{1})=D_{u}(t_{1})+1}$

${\displaystyle D_{v}(t_{2})=D_{u}(t_{2})+1}$

Заметим, что на итерации ${\displaystyle t_{1}}$ критическое ребро исчезает из остаточной сети. Чтобы к моменту итерации ${\displaystyle t_{2}}$ ребро (u, v) в ней вновь появилось, необходимо, чтобы на какой-то промежуточной итерации ${\displaystyle t_{3}}$ был выбран увеличивающий путь, содержащий ребро (v, u). Следовательно,

${\displaystyle D_{u}(t_{3})=D_{v}(t_{3})+1}$

Используя ранее доказанную лемму, получаем:

${\displaystyle D_{v}(t_{2})=D_{u}(t_{2})+1\geq D_{u}(t_{3})+1=D_{v}(t_{3})+2\geq D_{v}(t_{1})+2}$

Поскольку изначально ${\displaystyle D_{v}>0}$ (иначе v = s, но ребро, ведущее в s, не может появиться на кратчайшем пути из s в t), и всегда, когда ${\displaystyle D_{v}}$ конечно, оно меньше |V| (кратчайший путь не содержит циклов, и, следовательно, содержит менее |V| рёбер), ребро может оказаться критическим не более ${\displaystyle {\frac {(|V|-1)-1}{2}}+1=|V|/2}$ раз. Поскольку каждый увеличивающий путь содержит хотя бы одно критическое ребро, а всего рёбер, которые могут когда-то стать критическими, ${\displaystyle 2|E|}$ (все рёбра исходной сети и им противоположные), то мы можем увеличить путь не более |Е|·|V| раз. Следовательно, число итераций не превышает O(|E|·|V|), что и требовалось доказать.

Опишем поиск в ширину на первом шаге.

1. Очередь состоит из единственной вершины A. Посещена вершина A. Родителя нет.
2. Очередь состоит (от начала к концу) из вершин B и D. Посещены вершины A, B, D. Вершины B, D имеют родителя А.
3. Очередь состоит из вершин D и C. Посещены A, B, C, D. Вершины B, D имеют родителя А, вершина C — родителя B.
4. Очередь состоит из вершин C, E, F. Посещены A, B, C, D, E, F. Вершины B, D имеют родителя А, вершина C — родителя B, вершины E, F — родителя D.
5. Вершина C удаляется из очереди: рёбра из неё ведут только в уже посещённые вершины.
6. Обнаруживается ребро (E,G) и цикл останавливается. В очереди вершины (F,G). Посещены все вершины. Вершины B,D имеют родителя А, вершина C — родителя B, вершины E,F — родителя D, вершина G — родителя E.
7. Идём по родителя: ${\displaystyle G\to E\to D\to A}$. Возвращаем пройденный путь в обратном порядке: ${\displaystyle A\to D\to E\to G}$.

Заметим, что в очередь последовательно добавляли вершины, достижимые из A ровно за 1 шаг, ровно за 2 шага, ровно за 3 шага. Кроме того, родителем каждой вершины является вершина, достижимая из A ровно на 1 шаг быстрее.

Пропускная способность пути	Путь
${\displaystyle \min(c_{f}(A,D),c_{f}(D,E),c_{f}(E,G))=}$ ${\displaystyle \min(3-0,2-0,1-0)=}$ ${\displaystyle \min(3,2,1)=1}$	${\displaystyle A,D,E,G}$
${\displaystyle \min(c_{f}(A,D),c_{f}(D,F),c_{f}(F,G))=}$ ${\displaystyle \min(3-1,6-0,9-0)=}$ ${\displaystyle \min(2,6,9)=2}$	${\displaystyle A,D,F,G}$
${\displaystyle \min(c_{f}(A,B),c_{f}(B,C),c_{f}(C,D),c_{f}(D,F),c_{f}(F,G))=}$ ${\displaystyle \min(3-0,4-0,1-0,6-2,9-2)=}$ ${\displaystyle \min(3,4,1,4,7)=1}$	${\displaystyle A,B,C,D,F,G}$
${\displaystyle \min(c_{f}(A,B),c_{f}(B,C),c_{f}(C,E),c_{f}(E,D),c_{f}(D,F),c_{f}(F,G))=}$ ${\displaystyle \min(3-1,4-1,2-0,0--1,6-3,9-3)=}$ ${\displaystyle \min(2,3,2,1,3,6)=1}$	${\displaystyle A,B,C,E,D,F,G}$

Отметим, что в процессе выполнения алгоритма длины дополняющих путей (на рисунках обозначены красным) не убывают. Это свойство выполняется благодаря тому, что мы ищем кратчайший дополняющий путь.