Алгоритм Прима

Алгоритм Прима — алгоритм построения минимального остовного дерева взвешенного связного неориентированного графа. Алгоритм впервые был открыт в 1930 году чешским математиком Войцехом Ярником, позже переоткрыт Робертом Примом в 1957 году, и, независимо от них, Э. Дейкстрой в 1959 году.

Описание

На вход алгоритма подаётся связный неориентированный граф. Для каждого ребра задаётся его стоимость.

Сначала берётся произвольная вершина и находится ребро, инцидентное данной вершине и обладающее наименьшей стоимостью. Найденное ребро и соединяемые им две вершины образуют дерево. Затем, рассматриваются рёбра графа, один конец которых — уже принадлежащая дереву вершина, а другой — нет; из этих рёбер выбирается ребро наименьшей стоимости. Выбираемое на каждом шаге ребро присоединяется к дереву. Рост дерева происходит до тех пор, пока не будут исчерпаны все вершины исходного графа.

Результатом работы алгоритма является остовное дерево минимальной стоимости.

Пример
Изображение Множество выбранных вершин U Ребро (u, v) Множество невыбранных вершин V \ U Описание
{}{A,B,C,D,E,F,G} Исходный взвешенный граф. Числа возле ребер показывают их веса, которые можно рассматривать как расстояния между вершинами.
{D}(D,A) = 5 V
(D,B) = 9
(D,E) = 15
(D,F) = 6		{A,B,C,E,F,G} В качестве начальной произвольно выбирается вершина D. Каждая из вершин A, B, E и F соединена с D единственным ребром. Вершина A — ближайшая к D, и выбирается как вторая вершина вместе с ребром AD.
{A,D}(D,B) = 9
(D,E) = 15
(D,F) = 6 V
(A,B) = 7		{B,C,E,F,G} Следующая вершина — ближайшая к любой из выбранных вершин D или A. B удалена от D на 9 и от A — на 7. Расстояние до E равно 15, а до F — 6. F является ближайшей вершиной, поэтому она включается в дерево F вместе с ребром DF.
{A,D,F}(D,B) = 9
(D,E) = 15
(A,B) = 7 V
(F,E) = 8
(F,G) = 11		{B,C,E,G} Аналогичным образом выбирается вершина B, удаленная от A на 7.
{A,B,D,F}(B,C) = 8
(B,E) = 7 V
(D,B) = 9 цикл
(D,E) = 15
(F,E) = 8
(F,G) = 11		{C,E,G} В этом случае есть возможность выбрать либо C, либо E, либо G. C удалена от B на 8, E удалена от B на 7, а G удалена от F на 11. E — ближайшая вершина, поэтому выбирается E и ребро BE.
{A,B,D,E,F}(B,C) = 8
(D,B) = 9 цикл
(D,E) = 15 цикл
(E,C) = 5 V
(E,G) = 9
(F,E) = 8 цикл
(F,G) = 11		{C,G} Здесь доступны только вершины C и G. Расстояние от E до C равно 5, а до G — 9. Выбирается вершина C и ребро EC.
{A,B,C,D,E,F}(B,C) = 8 цикл
(D,B) = 9 цикл
(D,E) = 15 цикл
(E,G) = 9 V
(F,E) = 8 цикл
(F,G) = 11		{G} Единственная оставшаяся вершина — G. Расстояние от F до неё равно 11, от E — 9. E ближе, поэтому выбирается вершина G и ребро EG.
{A,B,C,D,E,F,G}(B,C) = 8 цикл
(D,B) = 9 цикл
(D,E) = 15 цикл
(F,E) = 8 цикл
(F,G) = 11 цикл		{} Выбраны все вершины, минимальное остовное дерево построено (выделено зелёным). В этом случае его вес равен 39.

Реализация

Обозначения
  •  — расстояние от -й вершины до построенного дерева
  •  — предок -й вершины, то есть такая вершина , что легчайшее из всех рёбер, соединяющее i с вершиной из построенного дерева.
  •  — вес ребра
  •  — приоритетная очередь вершин графа, где ключ —
  •  — множество ребер минимального остовного дерева

Псевдокод

 


  {} 
Для каждой вершины    
 
 
 

 
  

Пока  не пуста
  Для каждой вершины  смежной с 
    Если  и

Оценка

Асимптотика алгоритма зависит от способа хранения графа и способа хранения вершин, не входящих в дерево. Если приоритетная очередь реализована как обычный массив , то выполняется за , а стоимость операции составляет . Если представляет собой бинарную пирамиду, то стоимость снижается до , а стоимость возрастает до . При использовании фибоначчиевых пирамид операция выполняется за , а за .

Способ представления приоритетной очереди и графаАсимптотика
Массив d, списки смежности (матрица смежности)
Бинарная пирамида, списки смежности
Фибоначчиева пирамида, списки смежности

См. также

Литература
  • V. Jarník: O jistém problému minimálním [About a certain minimal problem], Práce Moravské Přírodovědecké Společnosti, 6, 1930, pp. 57-63. (чешск.)
  • R. C. Prim: Shortest connection networks and some generalizations. In: Bell System Technical Journal, 36 (1957), pp. 1389—1401 (англ.)
  • D. Cheriton and R. E. Tarjan: Finding minimum spanning trees. In: SIAM Journal on Computing, 5 (Dec. 1976), pp. 724—741 (англ.)
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Third Edition. MIT Press, 2009. ISBN 0-262-03384-4. Section 23.2: The algorithms of Kruskal and Prim, pp. 631—638. (англ.)

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.