Эта-функция Дирихле

Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа s, у которого действительная часть больше 0:

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\dots }$

Этот ряд Дирихле — знакочередующийся, он соответствует ряду Дирихле дзета-функции Римана ζ(s), поэтому эта-функция Дирихле также известна как альтернативная дзета-функция и иногда обозначается как ζ^*(s). Выполняются следующие равенства:

${\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s),}$

${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}.}$

(${\displaystyle \Gamma (s)}$ — гамма-функция, это равенство представляет эта-функцию как преобразование Меллина).

И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифма:

${\displaystyle \eta (s)=-\operatorname {Li} _{s}(-1)\qquad (\operatorname {Re} s>0),}$

${\displaystyle \zeta (s)=\operatorname {Li} _{s}(1)\qquad (\operatorname {Re} s>1).}$

Харди вывел для эта-функции функциональное уравнение

${\displaystyle \eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1),}$

которое позволяет продолжить её на всю комплексную плоскость, не ограничиваясь случаем Re s > 0.