Эксперимент Кавендиша

Вид сверху на крутильные весы (рисунок 2 статьи Кавендиша). Схема горизонтального рычага с двумя маленькими сферами b и большими сферами в двух разных положениях (WW и ww)[13].

Крутильные весы Мичелла, перестроенные и улучшенные Кавендишем, состояли из нескольких частей:

Деталь крутильных весов (рисунок 1 статьи Кавендиша). W — толстая сфера, x — маленькая сфера. Деревянный ящик, закрывающий коромысло, — это ABCD. n представляет собой апертуру, через которую можно наблюдать градуированную шкалу h.

1. Горизонтальное деревянное коромысло незначительной массы и длиной 183 см (6 футов) было подвешено на тонкой проволоке длинной 102 см (40 дюймов) прямо посередине. На каждом конце коромысла находилась небольшая свинцовая сфера диаметром 5,08 см (2 дюйма) с массой 0,73 кг (b на рисунках)[7]. Всё заключено в ящик из красного дерева, АААА, для предотвращения сквозняков и перепадов температуры, с небольшими отверстиями на торцах, закрытыми стеклом, что позволяло наблюдать за положением этих сфер. Небольшая сила позволяла этому горизонтальному коромыслу вращаться вокруг оси вращения, отмеченной проволокой, если та была достаточно тонкой[8][6].
2. Рядом с каждой из вышеупомянутых сфер b у Кавендиша была ещё одна неподвижная сфера, также сделанная из свинца, но гораздо более тяжёлая, 158 кг (20,3 см или 8 дюймов в диаметре). Они указаны на рисунках в двух разных позициях, WW и ww. Чтобы разместить их очень близко к маленьким сферам, Кавендиш разработал механизм, который активирует их перемещение на расстоянии, чтобы избежать помех — отмечено как ММ. Гравитационное действие этих сфер должно было притягивать маленькие сферы к шарам на коромысле, производя небольшое закручивание проволоки[6][14].
3. Чтобы измерить отклонение малых сфер, Кавендиш расположил градуированную шкалу из слоновой кости внутри деревянного ящика, защищающего коромысло, расположенную рядом с маленькими сферами и освещённую лучом света снаружи. Шкала имела отдельные деления на расстоянии 0,13 см (1/20 дюйма). На конце коромысла находился небольшой кусочек слоновой кости, выполнявший роль шкалы нониуса и разделявший деления шкалы на 5 частей, то есть величиной около 0,25 мм[6][1]. Следует отметить, что на многих схемах крутильных весов, встречающихся в литературе, указано, что несущая проволока имела зеркало, позволяющее наблюдать за производимым отклонением. Эта система является усовершенствованием, сделанным после эксперимента Кавендиша другими исследователями. Кавендиш измерял отклонение прямо на шкале возле маленьких сфер[2].
4. Для предотвращения возмущений, вызванных сквозняками и колебаниями температуры, Кавендиш поместил весы в закрытой комнате, на рисунке обозначенном вершинами GGGG. Большие сферы можно было перемещать из другой соседней комнаты с помощью механизма, обозначенного PRR, активируемого в точке m. И он мог также измерить небольшое кручение весов с помощью телескопа, отмеченного буквой Т, чтобы наблюдать отклонения на шкале из слоновой кости, освещённой светом от свечей, отмеченной буквой l[2].

Крутильные весы были удивительно точны для своего времени. Сила кручения, создаваемая притяжением шаров, была очень мала, 1,74 · 10⁻⁷ Н, что примерно равно 24 · 10⁻⁹ веса маленьких шаров. Эквивалентно силе, необходимой для удержания 0,0155 мг вещества. При подъёме песчинки диаметром 1 мм требуется усилие, примерно в 90 раз превышающее силу, измеренную по шкале Кавендиша[2].

Один конец современных крутильных весов, предназначенных для демонстрации эксперимента Кавендиша.

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что масса M притягивает другую массу m с силой F, пропорциональной произведению M · m и обратно пропорциональной квадрату расстояния r, разделяющего их.

Метод Кавендиша, используемый для расчёта плотности Земли, заключался в измерении периода колебаний горизонтального коромысла, которое колеблется, приближаясь к большой сфере и удаляясь от неё[13].

Когда большая сфера приближается на небольшое расстояние (9 дюймов или 22,9 см) к маленькой сфере, то сила гравитационного притяжения становится чувствительной и коромысло с маленькими сферами начинает вращаться в сторону больших сфер. По мере приближения малых сфер к более крупным сила притяжения увеличивается, так как она обратно пропорциональна расстоянию между их центрами, ${\displaystyle F\propto 1/r^{2}\,}$. В то же время это вызывает скручивание проволоки, поддерживающей коромысло, и возвращающую силу, противодействующую скручиванию. Эта рекуперативная сила увеличивается по мере приближения маленьких сфер к большим, поскольку она пропорциональна углу вращения (закон Гука), пока не сравняется с силой, которая их притягивает. В это время силы уравновешиваются, но коромысло с маленькими сферами обладает определённой скоростью (инерцией), что заставляет её продолжать движение в том же направлении. Однако сила возврата, противодействующая движению, становится больше, чем сила гравитационного притяжения, и успевает остановить движение коромысло. Таким образом, маленькие сферы останавливаются и меняют направление своего движения. Когда они снова проходят через положение равновесия, их скорость не равна нулю, что заставляет их продолжать движение. Сила кручения теперь действует в том же направлении, что и гравитационное притяжение, тормозя оба коромысла, и движение сфер медленно останавливается. Затем сферы начинают двигаться в противоположном направлении. То есть совершается колебательное движение, подобное движению простого маятника[2].

Период колебаний, измеренный Кавендишем, составил около 15 минут, что даёт представление о медленном движении коромысла. Кавендиш измерил время трёх полных колебаний, а затем определил период, разделив общее время на количество колебаний[15]. Можно показать, что период связан с силой тяжести и силой восстановления проволоки. Колебание затухает и его амплитуда, не превышающая 2 см, несколько уменьшается при каждом колебании, хотя это и не влияет на не зависящий от него период. Чтобы полностью прекратить колебательное движение, потребовалось много часов, но вскоре Кавендиш изменил положение больших сфер на другой стороне и сумел реактивировать колебания и провести новые измерения[2].

Определив период этих малых колебаний, можно вычислить силу гравитационного притяжения малого шара со стороны большого шара известной массы М и сравнить её с силой притяжения такого же малого шара к Земле. Таким образом, Земля может быть описана как в N раз более массивная, чем толстая сфера[9]. Все это основано на теории всемирного тяготения Исаака Ньютона, согласно которой сила притяжения пропорциональна произведению масс M и m и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними

${\displaystyle F\propto {\frac {M\cdot m}{r^{2}}}\,.}$

После того как были произведены расчёты и сделан ряд поправок, результат, полученный Кавендишем, состоял в том, что средняя плотность Земли в 5,448 раз превышала плотность воды при температуре от 19°С до 21°С (0,998 г/см³). Эта величина отличается всего на 1,4 % от принятого в настоящее время значения, что в 5,526 раз больше плотности воды, или 5,515 г/см³[2].

CAVENDISH, H. Experiments to Determine the Density of the Earth. Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1 Gener 1798, 88:469-526

Несмотря на то, что опыт Кавендиша считается первым определением гравитационной постоянной, он не только не приводил её значение, но и не мог сослаться на закон всемирного тяготения в современной форме, потому, что до конца XIX века его так не записывали[16]. В его время не существовало единства среди учёных в определении силы, периода колебаний и рассуждения велись используя сравнения и аналогии[2][17]. Для математического анализа Кавендиш использовал аналогию крутильных весов с математическим маятником, период которого известен[16]. Для математического маятника в крайнем положении возвращающая сила ${\displaystyle F_{0}}$ действует на вес груза ${\displaystyle W}$ и стремится вернуть его в положение равновесия. Длина дуги на которую сдвинут груз ${\displaystyle S}$ относится к длине подвеса ${\displaystyle l}$ как ${\displaystyle F_{0}/W\,.}$ Для математического маятника период равен ${\displaystyle T_{0}\,.}$ Он связан с периодом крутильного маятника ${\displaystyle T}$ под действием другой силы ${\displaystyle F}$ соотношением ${\displaystyle F/F_{0}=T_{0}^{2}/T^{2}\,.}$ С одной стороны возвращающая сила, действующая на крутильные весы запишется в виде ${\displaystyle F=W\cdot S/l\cdot T_{0}^{2}/T^{2}}$[18]. Эксперимент позволил определить ${\displaystyle F/T=B/(818T^{2})\,,}$ где B — число делений шкалы крутильных весов. С другой стороны Кавендиш рассмотрел отношение притяжения двух свинцовых сфер к весу груза (то есть его притяжение к Земле). Вместо свинца он рассмотрел шар аналогичной массы из воды. Тогда ${\displaystyle {\frac {F}{W}}=10,64\times 0,9779\times \left({\frac {6}{8,85}}\right)^{2}\left({\frac {D_{w}d_{w}^{3}}{d_{w}^{2}}}\right)\left({\frac {d_{e}^{2}}{D_{e}d_{e}^{3}}}\right)\,,}$ где индексы ${\displaystyle _{w}}$ и ${\displaystyle _{e}}$ относятся к воде и Земле, ${\displaystyle D}$ — плотность, ${\displaystyle d}$ — диаметр, 10,64 — коэффициент разницы массы между шаром из свинца и шаром из воды радиусом 1 фут, 0,9779 — коэффициент, введённый для устранения ошибки в измерениях, а отношение 6/8,86 есть отношение радиуса сферы воды к расстоянию между центрами шаров в дюймах. Теперь можно выделить относительную плотность Земли, зная её диаметр (41800000 футов): ${\displaystyle D={\frac {D_{e}}{D_{w}}}={\frac {818T^{2}}{8739000B}}}$[16]. Кавендиш провёл три измерения и взял среднее значение, которое оказалось неправильным из-за арифметической ошибки. Её исправил Бэйли и получил значение ${\displaystyle D=5,448}$[19].

Схема крутильных весов Кавендиша. Установка измеряет силу притяжения между массами ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle m}$ для получения значения гравитационной постоянной ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (M)}$ — масса неподвижных свинцовых шаров, ${\displaystyle (m)}$ — масса подвижных свинцовых шариков, ${\displaystyle (F)}$ — сила притяжения между каждой парой шариков, ${\displaystyle (\theta )}$ — угол закручивания упругой нити подвеса, ${\displaystyle (\kappa )}$ — коэффициент жёсткости торсионного подвеса, ${\displaystyle (r)}$ — расстояние между центрами шаров при закрученной нити подвеса, ${\displaystyle (L)}$ — расстояние между центрами маленьких шариков.

Определения терминов, используемых в формулах, приведены в подписи в конце этого раздела.

Приведённый ниже вывод формулы[20] для определения плотности Земли использует современную терминологию. Он не соответствует методу, которому следовал Кавендиш[21][17].

Момент силы ${\displaystyle \tau }$, по определению является произведением силы на расстояние, отделяющее точку её приложения от оси вращения. Это соответствует произведению гравитационного притяжения между двумя сферами F и расстояния между каждой маленькой сферой и осью вращения коромысла, несущей две маленькие сферы, L/2. Так как имеются две пары сфер (2 большие и 2 маленькие) и каждая пара создаёт силу на расстоянии L/2 от оси весов, то момент силы равен 2·F·L/2 = F·L. В крутильных маятниках, как и в крутильных весах, момент силы ${\displaystyle \tau }$, пропорционален углу поворота ${\displaystyle \theta }$ весов, константой пропорциональности выступает коэффициент кручения, ${\displaystyle \kappa }$, это ${\displaystyle \tau =\kappa \cdot \theta }$. Таким образом, приравнивая обе формулы, получается следующее выражение[21]:

${\displaystyle \kappa \cdot \theta \ =L\cdot F\,.\qquad \qquad \qquad (1)}$

Сила гравитационного притяжения F между маленькой сферой массы m и большой сферой массы M, расстояние между центрами которых равно r, определяется выражением закона всемирного тяготения Исаака Ньютона:

${\displaystyle F=G\cdot {\frac {m\cdot M}{r^{2}}}\,.}$

Подставив это выражение для F в уравнение (1), получается[21]

${\displaystyle \kappa \cdot \theta \ =L\cdot G\cdot {\frac {m\cdot M}{r^{2}}}\,.\qquad \qquad \qquad (2)}$

Для определения коэффициента крутящего момента ${\displaystyle \kappa \,}$, проволоки, можно измерить собственный период колебаний T крутильных весов, который выражается через момент инерции, I, и коэффициент кручения ${\displaystyle \kappa }$, согласно выражению[22]

${\displaystyle T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {I/\kappa }}\,.\qquad \qquad \qquad (3)}$

Учитывая, что масса деревянного коромысла пренебрежимо мала по сравнению с массами маленьких сфер, момент инерции весов обусловлен только двумя маленькими сферами и справедливо равенство[23]:

${\displaystyle I=m\cdot (L/2)^{2}+m\cdot (L/2)^{2}=m\cdot L^{2}/2\,,}$

где выражение (3) можно заменить и период примет вид

${\displaystyle T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {\frac {m\cdot L^{2}}{2\cdot \kappa }}}\,.}$

Выразив из предыдущей формулы ${\displaystyle \kappa }$[22]

${\displaystyle \kappa ={\frac {2\cdot \pi ^{2}\cdot m\cdot L^{2}}{T^{2}}}\,,}$

в выражении (2) можно произвести замену и перестановку, выделив константу G[24]:

${\displaystyle G={\frac {2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}}{M\cdot T^{2}}}\cdot \theta \,.\qquad \qquad \qquad (4)}$

Притяжение, оказываемое Землёй на массу m (массу маленьких сфер), находящуюся вблизи её поверхности, то есть на её вес, составляет:

${\displaystyle m\cdot g=G\cdot {\frac {m\cdot M_{Terra}}{R_{Terra}^{2}}}\,.}$

Выделяя массу Земли, получается выражение

${\displaystyle M_{Terra}={\frac {g\cdot R_{Terra}^{2}}{G}}\,.}$

Подставляя значение G из периода колебаний, получаем массу Земли

${\displaystyle M_{Terra}={\frac {g\cdot R_{Terra}^{2}}{{\frac {2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}}{M\cdot T^{2}}}\cdot \theta }}={\frac {g\cdot R_{Terra}^{2}\cdot M\cdot T^{2}}{2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}\cdot \theta }}\,.}$

Плотность Земли, ${\displaystyle \rho _{Terra}}$, это отношение её массы, ${\displaystyle M_{Terra}}$ к её объёму — объёму шара[8]:

${\displaystyle \rho _{Terra}={\frac {M_{Terra}}{{\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot R_{Terra}^{3}}}\,.}$