Шершавое многообразие

Шершавое или несглаживаемое многообразие — топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры. Более точно, топологическое многообразие не гомеоморфное никакому гладкому многообразию.

Примеры

  • E8-многообразие
  • Возьмём -мерное многообразие Милнора , ; параллелизуемо, его сигнатура равна , и его край гомотопически эквивалентен сфере . Подклейка к конуса к приводит к пространству . При этом, так как есть кусочно-линейная сфера (см. обобщенная гипотеза Пуанкаре), то кусочно-линейный шар, так что  — кусочно-линейное многообразие. С другой стороны, есть шершавое многообразие, так как его сигнатура равна 8, а сигнатура гладкого почти параллелизуемого (то есть параллелизуемого после выкалывания точки) -мерного многообразия кратна числу , экспоненциально растущему с ростом .
    • В частности, из этого следует, что многообразие не диффеоморфно сфере .

Критерий сглаживаемости кусочно-линейного многообразия

Пусть  — ортогональная группа, a  — группа сохраняющих начало кусочно-линейных гомеоморфизмов . Включение индуцирует расслоение , где  — классифицирующее пространство группы . При получается расслоение , слой которого обозначается через .
Кусочно-линейное многообразие обладает линейным стабильным нормальным расслоением , классифицируемым отображением .
Если же является гладким (сглаживаемым) многообразием, то оно обладает векторным стабильным нормальным расслоением , классифицируемым отображением , причем . Это условие также и достаточно, то есть

  • Замкнутое кусочно-линейное многообразие сглаживаемо тогда и только тогда, когда его кусочно-линейное стабильное нормальное расслоение допускает векторную редукцию, то есть когда отображение «поднимается» в (то есть существует такое , что ).

См. также

Литература

  • Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы, пер. с англ., — М., 1979.
  • Kervaire M. «Comment, math, helv.», 1960, t. 34, p. 257—70;
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.