Число Маркова

Существует простой способ получения новой тройки Маркова из старой тройки (x, y, z). Сначала нормализуем тройку x,y,z, переставив числа так, чтобы x ≤ y ≤ z. Далее, если (x, y, z) является тройкой Маркова, то совершив прыжок Виета, получим (x, y, 3xy − z). Если применить эту операцию второй раз, получим исходную тройку. Если связать каждую нормализованную тройку Маркова с 1, 2 или 3 нормализованными тройками, можно получить граф (дерево), имеющий в корне тройку (1,1,1), как на рисунке. Этот граф связен. Другими словами, любая тройка Маркова может быть получена из (1,1,1) в результате последовательности описанной выше операции[3]. Если мы начнём, скажем, с тройки (1, 5, 13), мы получим три соседние тройки — (5, 13, 194), (1, 13, 34) и (1, 2, 5) дерева Маркова, если в качестве z подставить 1, 5 и 13 соответственно. Если начать с (1, 1, 2) и перед каждой операцией менять местами y и z, получим тройки с числами Фибоначчи. Если же начать с той же тройки и менять местами x и z, получим числа Пелля.

Все числа Маркова, полученные первым способом, являются числами Фибоначчи с нечётными индексами (A001519), а полученные вторым способом — числами Пелля с нечётными индексами (или такими числами n, что 2n² − 1 является квадратом, A001653). Таким образом, имеется бесконечно много троек Маркова вида

${\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}$

где F_x является x-м числом Фибоначчи. Таким же образом, существует бесконечно много троек Маркова вида

${\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}$

где P_x — x-ое число Пелля[4]

Кроме двух наименьших особенных троек (1,1,1) и (1,1,2) все тройки Маркова состоят из трёх различных целых чисел[5].

Гипотеза единственности утверждает, что для заданного числа Маркова c существует в точности одно нормализованное решение, в котором c является наибольшим элементом — доказательства этого факта объявлялись, но ни одно из них не признано удовлетворительным[6].

Нечётные числа Маркова сравнимы с 1 по модулю 4, чётные же числа сравнимы с 2 по модулю 32[7].

В статье 1982 года Дон Цагир высказал гипотезу, что n-ое число Маркова асимптотически задаётся выражением

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}}$, где ${\displaystyle C=2.3523414972\ldots .}$

Более того, он указал на то, что ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9}$, приближение исходного диофантова уравнения, эквивалентно ${\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)}$ с f(t) = arch(3t/2)[8]. Гипотезу доказали[9] Грег Макшейн и Игорь Ривин в 1995, используя технику гиперболической геометрии[10].

n-ое число Лагранжа можно вычислить из n-го числа Маркова по формуле

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.\,}$

Числа Маркова являются суммами (неуникальных) пар квадратов.

Марков[1][11] показал, что если

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

является неопределённой бинарной квадратичной формой с вещественными коэффициентами и дискриминантом ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$, то существуют целые числа x, y, для которых f принимает ненулевое значение, по абсолютной величине не превосходящее

${\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}}$,

если только f не форма Маркова [12] — умноженная на константу форма

${\displaystyle px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}}$,

где (p, q, r) является тройкой Маркова и

${\displaystyle {\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1.\end{cases}}}$

Если X и Y принадлежат SL₂(C), то

Tr(X) Tr(Y) Tr(X⋅Y) + Tr(X⋅Y⋅X⁻¹⋅Y⁻¹) + 2 = Tr(X)² + Tr(Y)² + Tr(X⋅Y)²

так что в случае Tr(X⋅Y⋅X⁻¹ ⋅ Y⁻¹) = −2

Tr(X) Tr(Y) Tr(X⋅Y) = Tr(X)² + Tr(Y)² + Tr(X⋅Y)²

В частности, если X и Y имеют целочисленные составляющие, то Tr(X)/3, Tr(Y)/3 и Tr(X⋅Y)/3 является тройкой Маркова. Если X⋅Y⋅Z = Е, то Tr(X⋅Y) = Tr(Z), более симметричны, если X, Y и Z входят в SL₂(Z) с X⋅Y⋅Z = Е и коммутатор двух из них имеет след −2, тогда их следы/3 являются тройкой Маркова[13].

• Спектр Маркова