Циркулянт

Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида

C={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}},

где все $a_{i}$ — комплексные числа[1]. Циркулянт можно также кратко описать как $(a_{j-i+1})_{i,\;j=1}^{n}$ , где индексы вычисляются по модулю $n$ [2]. Таким образом, циркулянт — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого) получается циклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки (столбца). Любая циркулянтная матрица по определению является тёплицевой.

Также циркулянтом часто называют определитель такой матрицы[3].

Определитель

Обозначим $\zeta$ первообразный корень из единицы степени $n$ . Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта $C$ :

\operatorname {det} C=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(a_{1}+a_{2}\zeta ^{k}+\ldots +a_{n-1}\zeta ^{k(n-2)}+a_{n}\zeta ^{k(n-1)})

Доказательство

Обозначим $f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots +a_{n}x^{n-1}$ и $\zeta _{k}=\zeta ^{k}$ . Умножим циркулянт справа на определитель Вандермонда вида $|\zeta _{j}^{i-1}|_{n\times n}$ :

{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}f(\zeta _{1})&f(\zeta _{2})&\cdots &f(\zeta _{n})\\\zeta _{1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}f(\zeta _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}^{n-1}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}f(\zeta _{n})\end{vmatrix}}=

$=f(\zeta _{1})f(\zeta _{2})\ldots f(\zeta _{n})\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}$

Далее сокращаем определитель Вандермонда как ненулевой.■

Иными словами, собственные числа циркулянта равны дискретному преобразованию Фурье вектора $\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ [3].

Примеры

Для $n=2$ определитель циркулянта равен:

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}-a_{2})(a_{1}+a_{2}).

Для $n=3,\omega ^{3}=1,\omega \neq 1$ :

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{3}&a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{3}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})(a_{1}+a_{2}\omega +a_{3}\omega ^{2})(a_{1}+a_{2}\omega ^{2}+a_{3}\omega ).

Связанные определения

Антициркулянт

Антициркулянт — это матрица аналогичного вида[4]:

{\begin{pmatrix}a_{1}&-a_{n}&-a_{n-1}&\cdots &-a_{2}\\a_{2}&a_{1}&-a_{n}&\cdots &-a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &-a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{2}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}}.

Косоциркулянт

Матрица вида

\left({\begin{array}{ccccc}a_{1}&\varphi a_{n}&\varphi a_{n-1}&\cdots &\varphi a_{2}\\a_{2}&a_{1}&\varphi a_{n}&\cdots &\varphi a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &\varphi a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}\end{array}}\right)

называется $\varphi$ -косоциркулянтом порядка $n$ при $\varphi \neq 0$ [5].

Очевидно, что циркулянт является $(1)$ -косоциркулянтом, а антициркулянт — $(-1)$ -косоциркулянтом.

См. также

Ганкелева матрица

Ссылки

Weisstein, Eric W. Circulant Matrix (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Примечания

Aldrovandi, 2001, p. 83.
Davis, 1979, p. 66.
Aldrovandi, 2001, p. 84.
Bini, Pan, 1994, p. 132.
Воеводин, Тыртышников, 1987, с. 47.

Литература

Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры (рус.). — М.: Наука, 1975. — 400 с.
Davis, P. J. Circulant Matrices (англ.). — John Wiley & Sons, 1979. — ISBN 0-471-05771-1.
Aldrovandi, R. Special matrices of mathematical physics: stochastic, circulant and Bell matrices (англ.). — World Scientific, 2001. — ISBN 9810247087.
Bini, D., Pan, V. Y. Polynomial and matrix computations (англ.). — Birkhäuser Boston, 1994. — ISBN 0-8176-3786-9.
Воеводин, В. В., Тыртышников, Е. Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами (рус.). — М.: Наука, 1987. — 320 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_967f73c60ad72d5b-1] Aldrovandi, 2001, p. 83.

[_2e3f5954a267ea7a-2] Davis, 1979, p. 66.

[_967f73c60ad72d5c-3] Aldrovandi, 2001, p. 84.

[_04dbdc2072ec29d1-4] Bini, Pan, 1994, p. 132.

[_8c6936b3282d4ccf-5] Воеводин, Тыртышников, 1987, с. 47.