Формула Клаузиуса — Моссотти

Фо́рмула Кла́узиуса — Моссо́тти описывает связь статической диэлектрической проницаемости диэлектрика с поляризуемостью составляющих его частиц[1]. Получена независимо друг от друга в 1850 г. Оттавиано Ф. Моссотти[2] и в 1879 г. Рудольфом Ю. Э. Клаузиусом[3]. В случаях, когда вещество состоит из частиц одного сорта, в Гауссовой системе единиц формула имеет вид:

{\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}N\alpha ,

где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость, $N$ — количество частиц в единице объёма, а $\alpha$ — их поляризуемость.

Уточним, что под поляризуемостью частицы здесь понимается коэффициент $\alpha$ , связывающий напряжённость постоянного электрического поля ${\vec {E}}$ , действующего на частицу, с дипольным моментом ${\vec {p}}$ , образующимся у частицы под действием этого поля[4]:

{\vec {p}}=\alpha {\vec {E}}.

Поскольку предполагается, что поле во времени не изменяется, то его действие способно вызывать смещения частиц как с малой массой — электронов, так и с большой — ионов и атомов. Соответственно, в данном случае поляризуемость включает в себя электронную, ионную и атомную поляризуемости.

Формулу записывают также в виде:

{\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}\cdot {\frac {M}{\rho }}={\frac {4\pi }{3}}N_{\mathrm {A} }\alpha ,

где $M$ — молекулярная масса вещества, $\rho$ — его плотность, а $N_{\mathrm {A} }$ — постоянная Авогадро.

Если вещество состоит из частиц нескольких сортов с поляризуемостями $\alpha _{i}$ и объёмными концентрациями $N_{i}$ , то формула принимает вид:

{\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}\left[N_{1}\alpha _{1}+N_{2}\alpha _{2}+\cdots +N_{n}\alpha _{n}\right].

Формула применима только по отношению к неполярным диэлектрикам, то есть к таким, частицы которых собственным дипольным моментом не обладают. Для применимости формулы необходимо также, чтобы диэлектрик был изотропным.

Вывод

Макроскопическую поляризацию ${\vec {P}}$ можно представить как сумму индуцированных дипольных моментов ${\vec {p}}_{\text{ind}}$ в рассматриваемом объеме, деленную на объем (как плотность дипольного момента):

{\vec {P}}=N{\vec {p}}_{\text{ind}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{lokal}}

где $N$ - концентрация частиц , $\alpha$ - поляризуемость, ${\vec {E}}_{\text{lokal}}$ - локальное электрическое поле, действующее на атом или молекулу.

Запишем связь поляризации и среднего макроскопического поля через диэлектрическую восприимчивость $\chi$ и диэлектрическую проницаемость $\varepsilon _{\mathrm {r} }$ :

{\vec {P}}=\chi \varepsilon _{0}{\vec {E}}=\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}

и получим следующее равенство:

\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{lokal}}

Теперь необходимо связать локальное поле со средним.

Заметим, что для разреженных газов локальное поле равно внешнему, ${\vec {E}}_{\text{lokal}}={\vec {E}}$ , и тогда:

\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)={\frac {N}{\varepsilon _{0}}}\alpha

Для диэлектрика локальное поле не равно приложенному внешнему полю, поскольку соседние индуцированные диполи также создают электрическое поле.

{\vec {E}}_{\text{lokal}}={\vec {E}}+{\vec {E}}_{\text{L}}

{\vec {E}}

: внешнее электрическое поле

{\vec {E}}_{\text{L}}={\vec {P}}/(3\varepsilon _{0})

: электрическое поле окружения, созданное поляризацией за пределами сферы Лоренца.

Таким образом, локальное поле:

{\vec {E}}_{\text{lokal}}={\vec {E}}+{\frac {1}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {P}}={\vec {E}}+{\frac {\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {E}}={\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}{3}}{\vec {E}}

При подстановке в неравенство выше:

\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}{3}}{\vec {E}}

в итоге получаем формулу Клаузиса-Моссотти:

{\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}}={\frac {N\alpha }{3\varepsilon _{0}}}

Обсуждение

Приближённый характер присущ формуле изначально, поскольку приближённой является модель диэлектрика, используемая при её выводе. Действительно, в общем случае нет оснований полагать, что диэлектрик состоит из отдельных частиц с поляризуемостями, присущими им как таковым. Так, в диэлектриках с ковалентными связями электроны могут принадлежать сразу двум атомам. В ионных кристаллах такого обобществления не происходит, но поляризуемости ионов в кристаллах могут существенно отличаться от их поляризуемостей в свободном состоянии.

Точность формулы зависит от агрегатного состояния среды, для описания которой она используется. С наиболее высокой точностью формула справедлива для газов и жидкостей.

Обобщением формулы Клаузиуса — Моссотти на случай полярных диэлектриков, частицы которых обладают дипольным моментом и в отсутствие поля, является формула Ланжевена – Дебая[5].

В случае оптических частот электромагнитного поля, соответствующих видимому и ультрафиолетовому излучению, смещения ионов и атомов под действием поля происходить не успевают. Поэтому на формирование диэлектрической проницаемости влияют только электронные поляризуемости частиц. Соответственно, в этом случае используется аналог формулы Клаузиуса — Моссотти, справедливый для оптического излучения, — формула Лоренца — Лоренца.

В настоящее время формула Клаузиуса — Моссотти используется не только в её первоначальном виде, формулу продолжают развивать и совершенствовать для повышения точности получаемых результатов и расширения сферы её применения[6].

См. также

Формула Лоренца — Лоренца

Примечания

Леванюк А. П. Клаузиуса — Мосотти формула // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 373—374. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
Mossotti O. F. Sull’influenza che l’azione di un mezzo dielettrico ha sulla distribuzione dell’elettricità alla superfice di più corpi elettrici disseminati in esso // Memorie di matematica e di fisica della Società italiana delle scienze. — 1850, 2 pt. 2. — С. 49—74.
Clausius R. Die mechanische Behandlung der Electricität. — Zweite. — Braunschweig: Druck und Verlag von Friedrich Vieweg und Sohn, 1879. — 356 с.
Гусев А. А. Поляризуемость // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 72—74. — 704 с. — 40 000 экз.
Главный редактор А. М. Прохоров. Ланжевена — дебая формула // Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1983.
Valiskó M., Boda D. Correction to the Clausius—Mossotti equation: The dielectric constant of nonpolar fluids from Monte Carlo simulations // The Journal of Chemical Physics. — 2009. — 28 октября (vol. 131, № 16). — P. 164120—164123. — ISSN 1089-7690.

7. А.П. Александров и др. Физика диэлектриков под редакцией проф. А.Ф. Вальтера .ГТТИ , Ленинград 1932 Москва.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Леванюк А. П. Клаузиуса — Мосотти формула // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 373—374. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.

[2] Mossotti O. F. Sull’influenza che l’azione di un mezzo dielettrico ha sulla distribuzione dell’elettricità alla superfice di più corpi elettrici disseminati in esso // Memorie di matematica e di fisica della Società italiana delle scienze. — 1850, 2 pt. 2. — С. 49—74.

[3] Clausius R. Die mechanische Behandlung der Electricität. — Zweite. — Braunschweig: Druck und Verlag von Friedrich Vieweg und Sohn, 1879. — 356 с.

[ФЭ4-4] Гусев А. А. Поляризуемость // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 72—74. — 704 с. — 40 000 экз.

[5] Главный редактор А. М. Прохоров. Ланжевена — дебая формула // Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1983.

[6] Valiskó M., Boda D. Correction to the Clausius—Mossotti equation: The dielectric constant of nonpolar fluids from Monte Carlo simulations // The Journal of Chemical Physics. — 2009. — 28 октября (vol. 131, № 16). — P. 164120—164123. — ISSN 1089-7690.