Фильтр Чебышёва

ЛАЧХ фильтра Чебышёва I рода четвёртого порядка с ${\displaystyle \omega _{0}=1}$ и ${\displaystyle \varepsilon =1}$

Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышёва. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра ${\displaystyle n}$-го порядка задаётся следующим выражением:

${\displaystyle G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}}}$

где ${\displaystyle \varepsilon }$ — показатель пульсаций, ${\displaystyle \omega _{0}}$ — частота среза, а ${\displaystyle T_{n}(x)}$ — многочлен Чебышёва ${\displaystyle n}$-го порядка.

В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации (англ. ripple factor) ${\displaystyle \varepsilon }$. В полосе пропускания многочлены Чебышёва принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального ${\displaystyle G=1}$ до минимального ${\displaystyle G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$. На частоте среза ${\displaystyle \omega _{0}}$ коэффициент усиления имеет значение ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$, а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (Примечание: обычное определение частоты среза как частоты, когда ЛАФЧХ имеет значение −3 дБ в случае фильтра Чебышёва не работает).

В случае аналогового электронного фильтра Чебышёва его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:

Пульсации в дБ = ${\displaystyle 20\log _{10}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$.

Например, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют ${\displaystyle \varepsilon =1}$.

Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси ${\displaystyle j\omega }$ в комплексной плоскости. Это однако приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.

Полюса и нули

Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва I рода 8-го порядка на плоскости комплексной частоты (${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$) при ${\displaystyle \varepsilon =0,\!1}$ и ${\displaystyle \omega _{0}=1}$. Белые пятна — это полюса фильтра. Они расположены на эллипсе с полуосью 0,3836… по действительной оси и 1,071… по мнимой оси. Полюса передаточной функции фильтра расположены в левой полуплоскости. Чёрный цвет соответствует коэффициенту передачи менее 0,05, белый соответствует коэффициенту передачи более 20

Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ фильтра Чебышёва являются нулями его знаменателя. Используя комплексную частоту ${\displaystyle s}$, получим:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0}$.

Представив ${\displaystyle -js=\cos(\theta )}$ и используя тригонометрическое определение многочленов Чебышёва, получим:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta ))=1+\varepsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0}$.

Разрешим последнее выражение относительно ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}}$.

Тогда полюса фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения:

${\displaystyle s_{pm}=i\cos(\theta )=}$

${\displaystyle =i\cos \left({\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}\right)}$.

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме:

${\displaystyle s_{pm}^{\pm }=\pm \,\mathop {\mathrm {sh} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {arsh} } \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})+}$

${\displaystyle +j\mathop {\mathrm {ch} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {arsh} } \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$,

где ${\displaystyle m=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$ и

${\displaystyle \theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}}$.

Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром ${\displaystyle \theta _{n}}$. Оно показывает, что полюса лежат на эллипсе в ${\displaystyle s}$-плоскости, причём центр эллипса находится в точке ${\displaystyle s=0}$, полуось действительной оси имеет длину ${\displaystyle \mathop {\mathrm {sh} } (\mathop {\mathrm {arsh} } (1/\varepsilon )/n)}$, а полуось мнимой оси имеет длину ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ch} } (\mathop {\mathrm {arsh} } (1/\varepsilon )/n)}$.

Групповая задержка

Амплитуда и групповая задержка фильтра Чебышёва I рода пятого порядка с ${\displaystyle \varepsilon =0,\!5}$. Видно, что в полосе пропускания и АЧХ и групповая задержка имеют пульсации, в полосе подавления этих пульсаций нет

Групповая задержка определяется как минус производная фазы фильтра по частоте и является мерой искажения фазы сигнала на различных частотах.

${\displaystyle \tau _{g}=-{\frac {d}{d\omega }}\arg(H(j\omega ))}$

Фазовые характеристики

Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва I рода — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

${\displaystyle \tau _{\varphi }={\frac {\arg H(j\omega )}{\omega }}}$

Временны́е характеристики

Типовые временные характеристики фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка

Временные характеристики фильтра Чебышёва I рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

АЧХ фильтра Чебышёва II рода (фильтр низких частот) с ${\displaystyle \omega _{0}=1}$ и ${\displaystyle \varepsilon =0,\!01}$

Фильтр Чебышёва II рода (инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением:

${\displaystyle G_{n}(\omega ,\;\omega _{0})={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\left(\omega _{0}/\omega \right)}}}}}}$

В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}}}}$

минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза ${\displaystyle \omega _{0}}$. Параметр ${\displaystyle \varepsilon }$ связан с затуханием в полосе подавления ${\displaystyle \gamma }$ в децибелах следующим выражением:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{0,\!1\gamma }-1}}}}$

Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: ${\displaystyle \varepsilon =0,\!6801}$; для затухания в 10 дБ: ${\displaystyle \varepsilon =0,\!3333}$. Частота ${\displaystyle f_{C}=\omega _{C}/(2\pi )}$ является частотой среза. Частота затухания в 3 дБ ${\displaystyle f_{H}}$ связана с ${\displaystyle f_{C}}$ следующим выражением:

${\displaystyle f_{H}=f_{C}\,\mathop {\mathrm {ch} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {ch} } ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}$.

Полюса и нули

Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва II рода восьмого порядка на комплексной плоскости (${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$) с ${\displaystyle \varepsilon =0,\!1}$ и ${\displaystyle \omega _{0}=1}$. Белые пятна соответствуют полюсам, а чёрные — нулям. Показаны все 16 полюсов. 6 нулей (все нули второго порядка) показаны также, 2 находятся за пределами картинки (один на положительной мнимой оси, другой — на отрицательной мнимой оси). Полюса передаточной функции фильтра — это полюса, находящиеся в левой полуплоскости, нули передаточной функции — это нули модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва, только не второго, а первого порядка. Чёрный цвет соответствует коэффициенту усиления менее 0,01, белый — коэффициенту усиления более 3

Приняв частоту среза равной единице, получим выражение для полюсов ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ фильтра Чебышёва:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{pm})=0}$.

Полюса фильтра Чебышёва II рода представляют собой «инверсию» полюсов фильтра Чебышёва I рода:

${\displaystyle {\frac {1}{s_{pm}^{\pm }}}=\pm \,\mathop {\mathrm {sh} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {arsh} } \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})+}$

${\displaystyle +j\mathop {\mathrm {ch} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {arsh} } \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$,

где ${\displaystyle m=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$.

Нули ${\displaystyle (\omega _{zm})}$ фильтра Чебышёва II рода определяются из следующего соотношения::

${\displaystyle \varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{zm})=0}$.

Нули фильтра Чебышёва II рода являются «инверсией» нулей многочленов Чебышёва:

${\displaystyle 1/s_{zm}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}\right)}$,

где ${\displaystyle m=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$.

Групповая задержка

Амплитудная характеристика и групповая задержка фильтра Чебышёва II рода пятого порядка с ${\displaystyle \varepsilon =0,\!1}$

Амплитудная характеристика и групповая задержка показаны на графике. Можно видеть, что пульсации амплитуды приходятся на полосу подавления, а не на полосу пропускания.

Фазовые характеристики

Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва II рода 10-го порядка

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва II рода — фазо-частотная характеристика и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

Временные характеристики

Типовые временные характеристики фильтра Чебышёва II рода 5-го порядка

Временные характеристики фильтра Чебышёва II рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

Фильтры Чебышёва часто реализуются в цифровой форме. Для того, чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над каждым каскадом фильтра осуществить билинейное преобразование. Весь фильтр получается путём последовательного соединения каскадов. Простой пример фильтра Чебышёва низких частот I рода чётного порядка:

Z-преобразование каждого каскада:

${\displaystyle S(Z)={\frac {a(Z)}{b(Z)}}={\frac {\alpha _{0}+\alpha _{1}\cdot Z^{-1}+\alpha _{2}\cdot Z^{-2}}{1+\beta _{1}\cdot Z^{-1}+\beta _{2}\cdot Z^{-2}}}}$.

Во временно́й области преобразование записывается как:

${\displaystyle y[n]=\alpha _{0}\cdot x[0]+\alpha _{1}\cdot x[-1]+\alpha _{2}\cdot x[-2]-\beta _{1}\cdot y[-1]-\beta _{2}\cdot y[-2]}$

Коэффициенты ${\displaystyle \alpha _{i}}$ и ${\displaystyle \beta _{i}}$ подсчитываются из коэффициентов ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{i}}$:

${\displaystyle K=\mathop {\mathrm {tg} } \left(\pi {\frac {\mbox{Frequency}}{\mbox{SampleRate}}}\right)}$

${\displaystyle {\mbox{temp}}_{i}=\cos {\frac {(2i+1)\pi }{n}}}$

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{\mathop {\mathrm {ch} } ^{2}\gamma -{\mbox{temp}}_{i}^{2}}}}$

${\displaystyle a_{i}=K\cdot b_{i}\cdot \mathop {\mathrm {sh} } \,\gamma \cdot 2\,{\mbox{temp}}_{i}}$

${\displaystyle \alpha _{0}=K\cdot K}$

${\displaystyle \alpha _{1}=2\cdot K^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{2}=K\cdot K}$

${\displaystyle \beta _{0}^{\prime }=(a_{i}+K^{2}+b_{i})}$

${\displaystyle \beta _{1}^{\prime }=2\cdot (b_{i}-K^{2})}$

${\displaystyle \beta _{2}^{\prime }=(a_{i}-K^{2}-b_{i})}$

${\displaystyle \beta _{1}=\beta _{1}^{\prime }/\beta _{0}^{\prime }}$

${\displaystyle \beta _{2}=\beta _{2}^{\prime }/\beta _{0}^{\prime }}$

Для получения фильтра Чебышёва более высокого порядка, необходимо соединить последовательно несколько каскадов.

Ниже представлены графики АЧХ фильтра Чебышёва I и II родов в сравнении с некоторыми другими фильтрами с тем же числом коэффициентов:

По графикам видно, что амплитудная характеристики фильтров Чебышёва имеет более крутой спад, чем у фильтров Баттерворта, но не такой крутой, как у эллиптического фильтра.

• Гребенчатый фильтр
• Фильтр (электроника)
• Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой
• Цифровая обработка изображений
• Цифровая обработка сигналов

• Кривицкий, Б. Х. Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М. : Энергия, 1977.
• Лукас, В. А. Теория автоматического управления. — M. : Недра, 1990.
• Daniels, Richard W. Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York : McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-015308-6.
• Higgins, Richard J. Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1990. — ISBN 0-13-212887-X.
• Haykin, S. Adaptive Filter Theory. — 4th ed. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0-13-090126-1.
• Honig, Michael L.; Messerschmitt, David G. Adaptive Filters – Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA : Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0-89838-163-0.
• Markel, J. D.; Gray Jr., A. H. Linear Prediction of Speech. — New York : Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0-387-07563-1.
• Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W. Digital Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0-13-214635-5.
• Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1988. — ISBN 0-02-396815-X.
• Rabiner, L. R.; Schafer, R. W. Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0-13-213603-1.
• Rabiner, L. R.; Gold, B. Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0-13-914101-4.
• Rorabaugh, Britton C. Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York : McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0-07-054004-7.
• Smith, Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — 2nd ed. — San-Diego : California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-4-1.
• Widrow, B.; Stearns, S. D. Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-004029-0.

• Как рассчитывать рекурсивные фильтры? (неопр.) (недоступная ссылка). НГУ. Дата обращения: 14 февраля 2014. Архивировано 30 ноября 2013 года.
• Классификация фильтров (неопр.). Аналоговые измерительные устройства. Дата обращения: 14 февраля 2014.
• Лекция по цифровой фильтрации (неопр.). DSP.sut.ru. Дата обращения: 14 февраля 2014. Архивировано 12 марта 2007 года.
• Расчёт фильтра Чебышёва первого рода с примерами (неопр.). Dsplib.ru. Дата обращения: 14 февраля 2014.
• Расчёт фильтра Чебышёва второго рода с примерами (неопр.). Dsplib.ru. Дата обращения: 14 февраля 2014.
• Фильтры нижних частот (неопр.). Gaw.ru (Рынок Микроэлектроники). Дата обращения: 14 февраля 2014.
• Chebyshev Filters (неопр.). Texas Instruments. Дата обращения: 14 февраля 2014. Архивировано 5 августа 2012 года. (англ.)