Уравнение Бете — Солпитера

Уравнение Бете — Солпитера, названое в честь Х. Бете и Э. Солпитера, описывает связанные состояния двухчастичной квантовополевой системы в релятивистски ковариантной форме. Уравнение было впервые опубликовано в 1950 году в конце статьи Ёитиро Намбу, но без вывода.[1]

Интегральная форма записи уравнения Бете — Солпитера

Основным методом решения задач со взаимодействием, бесспорно, является теория возмущений, однако это далеко не единственный метод. Существуют, так называемые, непертурбативные методы и один из них ведет к уравнению Бете — Солпитера. Рассматривается система двух связанных фермионов. В свободной теории, как известно, для одночастичной волновой функции (где  — спинорный индекс) пропагатор определяется следующим образом:

,

Тут используется запись с использованием «перечёркнутых матриц»,  — 4-х вектор внешней нормали. Интегрирование ведется по поверхности объёма, включающего в себя событие , . — фейнмановский пропагатор. В случае невзаимодействующих частиц он определяется как решение следующего уравнения[2]:

,

Аналогично пропагатору для одночастичной волновой функции, можно определить пропагатор для двучастичной волновой функции следующим выражением:

,

Здесь  — спинор, обладающий двумя спинорными индексами . В случае невзаимодействующих частиц, двучастичная волновая функция распадается в произведение одночастичных, а пропагатор в произведение пропагаторов:

Однако это самый тривиальный случай. Теперь же «включим» электромагнитное взаимодействие между двумя частицами. Если бы мы следовали идеологии теории возмущений, то получили бы, следуя Фейнману, представляется в виде:

Под понимается сумма всевозможных диаграмм, получаемых из теории возмущения. Основная идея, приводящая к уравнению заключается в том, что всю сумму диаграмм мы обозначаем, как некоторое ядро . Мы будем называть диаграмму приводимой, если после удаления двух фермионных линий она становится несвязной. Тогда можно представить в виде суммы двух вкладов: вклада приводимых диаграмм и вклада неприводимых диаграмм . Можно показать[3], что выражение для может быть переписано как:

Подставляя это выражение в получаем уравнение Бете — Солпитера:

В этом выражении  — свободная двучастичная волновая функция, то есть волновая функция в отсутствии взаимодействия между частицами. Таким образом, получили интегральное уравнение Фредгольма II рода.

Интегро-дифференциальная форма записи уравнения Бете — Солпитера. Запись в p-пространстве

Подействуем теперь на уравнение Бете-Солпитера операторами , в силу получим следующее выражение:

Соответственно вместо интегрального уравнения типа Фредгольма, мы получаем интегро-дифференциальное уравнение на двухчастичную волновую функцию . Ещё одной возможной формой записи уравнения Бете-Солпитера, является запись в импульсном пространстве, а именно, определим преобразование Фурье двухчастичной волновой функции следующим образом:

Фурье преобразования самого уравнения Бете-Солпитера запишется следующим образом:

В левой части можно перенести градиенты на экспоненту при помощи интегрирования по частям. Также добавим в правую часть две дельта-функции. Получим:

Используя импульсное представление дельта-функций со штрихованными переменными мы можем переписать ядро в импульсном представлении, а именно:

Используя это, мы получаем уравнение Бете-Солпитера в импульсной форме:

Другие представления

В связи со своей общностью и тем, что оно применяется во многих разделах теоретической физики, уравнение Бете — Солпитера можно встретить в разных формах. Одной из форм, часто используемой в физике высоких энергий, является:

,

где  — амплитуда Бете — Солпитера, описывает взаимодействие двух частиц, а  — их пропагатор.

Так как данное уравнение может быть получено путём отождествления связанных состояний с полюсами S-матрицы, то его можно связать с квантовым описанием процессов рассеяния и функциями Грина.

Даже для простых систем, таких как позитроний, уравнение не может быть решено точно, хотя в принципе оно сформулировано точно. К счастью, классификация состояний может быть проведена без использования точного решения. Если одна частица гораздо массивнее другой, то задача значительно упрощается, и в этом случае решается уравнение Дирака для лёгкой частицы, находящейся, во внешнем потенциале, создаваемом тяжёлой частицей.

Примечания

  1. Y. Nambu. Force Potentials in Quantum Field Theory (англ.) // Progress of Theoretical Physics. — 1950. Vol. 5, no. 4. doi:10.1143/PTP.5.614.
  2. Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Quantum Chromodynamics. — 3rd. — Springer, 2007. — С. 46—47. — 475 с.
  3. Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Quantum Chromodynamics. — Springer. — С. 347—348. — 475 с.

Литература

  • W. Greiner, J. Reinhardt. Quantum Electrodynamics. — 3rd. — Springer (publisher), 2003. — ISBN 978-3-540-44029-1.
  • N. Nakanishi. A general survey of the theory of the Bethe–Salpeter equation (англ.) // Progress of Theoretical Physics. — 1969. Vol. 43. P. 1–81. doi:10.1143/PTPS.43.1.
  • Н.Н Боголюбов, Д.В Ширков, Введение в теорию квантованных полей,1973
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.