Укорачивающий поток
Укорачивающий поток — процесс, изменяющий гладкую кривую на плоскости путём перемещения её точек перпендикулярно к кривой со скоростью, равной её кривизне.
Укорачивающий поток изучается в основном как простейший пример геометрического потока, в частности позволяет отработать технику для работы с потоком Риччи и с потоком средней кривизны.
Уравнение
Однопараметрическое семейство кривых является решением укорачивающего потока, если для любого значения параметра имеем
где — кривизна со знаком кривой в точке и — единичный вектор нормали к кривой в точке .
Свойства
- Если начальная кривая простая и замкнутая, то она остаётся таковой под действием укорачивающего потока.
- Для простой замкнутой кривой укорачивающий поток определён на максимальном интервале .
- При кривая схлопывается в точку.
- Площадь ограниченная кривой уменьшается с постоянной скоростью.
- В частности, момент схлопывания в точку полностью определён площадью, ограниченной кривой: .
- Если изначальная кривая не является выпуклой, то её максимальное абсолютное значение кривизны уменьшается монотонно, пока она не станет выпуклой.
- Для выпуклой кривой изопериметрическое соотношение убывает, и прежде чем пропасть в точке сингулярности, кривая стремится по форме к окружности.[1]
- Две непересекающиеся простые гладкие замкнутые кривые остаются непересекающимися, пока одна из них не схлопнулась в точку.
- Окружность — единственная простая замкнутая кривая, которая сохраняет свою форму в потоке.
- Некоторые кривые с самопересечениями, а также кривые бесконечной длины, сохраняют форму.
Приложения
- Укорачивающий поток на сфере даёт одно из доказательств задачи Арнольда о существования хотя бы четырёх точек перегиба у любой гладкой кривой, разрезающей сферу на равновеликие диски.[2]
Примечания
- Gage, M. E. (1984), «Curve shortening makes convex curves circular», Inventiones Mathematicae 76 (2): 357—364, doi:10.1007/BF01388602
- Angenent, Sigurd. «Inflection points, extatic points and curve shortening.» Hamiltonian systems with three or more degrees of freedom. Springer Netherlands, 1999. 3-10.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.