Поток средней кривизны

Однопараметрическое семейство поверхностей ${\displaystyle f_{t}\colon S\hookrightarrow M}$ является потоком средней кривизны, если

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(x)}{\partial t}}=H_{t}(x)\cdot n(x),}$

где ${\displaystyle H_{t}(x)}$ и ${\displaystyle n(x)}$ обозначают среднюю кривизну и единичный вектор нормали к поверхности ${\displaystyle f_{t}(S)}$ в точке ${\displaystyle f_{t}(x)}$.

• Уравнение потока является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных.
  • В частности, это гарантирует существование решения для малых значений временного параметра.
• Минимальные поверхности являются критическими точками для потока средней кривизны.
• Обычно поток средней кривизны формирует особенность за конечное время, начиная с которой поток перестаёт быть определён.
• Формула монотонности Хуйскена
• Под действием потока замкнутая выпуклая гиперповерхность в евклидовом пространстве остаётся выпуклой. Более того, она схлопывается в точку за конечное время, и непосредственно до этого момента поверхность приближается к стандартной сфере с точностью до изменения масштаба.
  • В общем римановом многообразии выпуклость гиперповерхности не сохраняется в потоке, даже если дополнительно потребовать положительность секционной кривизны.

• Укорачивающий поток — частный случай потока средней кривизны для кривых на плоскости.
• Поток Риччи — близкая конструкция для деформации римановых многообразий.

• Поток предоставляет естественную операцию сглаживания для гиперповерхностей. В частности, даёт аппроксимацию данной ${\displaystyle C^{2}}$-гладкой гиперповерхности аналитическими.

• Ecker, Klaus (2004), Regularity Theory for Mean Curvature Flow, vol. 57, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3243-3, DOI 10.1007/978-0-8176-8210-1.
• Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow, vol. 290, Progress in Mathematics, Basel: Birkhäuser/Springer, ISBN 978-3-0348-0144-7, DOI 10.1007/978-3-0348-0145-4.
• Lu, Conglin; Cao, Yan & Mumford, Davidd (2002), Surface evolution under curvature flows, Journal of Visual Communication and Image Representation Т. 13 (1-2): 65–81, DOI 10.1006/jvci.2001.0476. См., в частности, уравнения 3a и 3b.