Теплоёмкость идеального газа

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть ${\displaystyle dQ=0}$. Однако, объём, давление и температура меняются, то есть ${\displaystyle dT\neq 0}$[3].

Следовательно, теплоёмкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю: ${\displaystyle C={0 \over dT}=0}$.

В изотермическом процессе постоянна температура, то есть ${\displaystyle dT=0}$. При изменении объёма газу передаётся (или отбирается) некоторое количество тепла[3]. Следовательно, теплоёмкость идеального газа равна плюс-минус бесконечности: ${\displaystyle C\to \pm \infty }$

В изохорном процессе постоянен объём, то есть ${\displaystyle \delta V=0}$ и, следовательно газ не совершает работы. Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет вид[1]:

${\displaystyle dU=\delta Q=\nu C_{V}dT.\qquad (1)}$

А для идеального газа

${\displaystyle dU={\frac {i}{2}}\nu R\Delta T.}$

Таким образом,

${\displaystyle C_{V}={\frac {i}{2}}R,}$

где ${\displaystyle i}$ — число степеней свободы частиц газа.

Другая формула:

${\displaystyle C_{V}={\frac {R}{\gamma -1}},}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — показатель адиабаты, ${\displaystyle R}$ — газовая постоянная газа.

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении обозначается как ${\displaystyle C_{p}}$. В идеальном газе она связана с теплоёмкостью при постоянном объёме соотношением Майера ${\displaystyle C_{p}=C_{v}+R}$[1]. Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики[4]:

${\displaystyle \delta Q=\mathrm {d} U+\delta A,\qquad (2)}$.

В рассматриваемом случае, согласно определению теплоёмкости:

${\displaystyle \delta Q=C_{p}\mathrm {d} T,}$

Учитываем, что работа газа равна [4]:

${\displaystyle \delta A=\mathrm {d} (pV)=nR\mathrm {d} T\qquad =p\mathrm {d} V\qquad +V\mathrm {d} p\qquad =p\mathrm {d} V\qquad ,(V\mathrm {d} p\qquad =0)(3)}$

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона для одного моля газа[1]:

${\displaystyle p\mathrm {d} V=R\mathrm {d} T.\qquad (4)}$

Подставляя уравнение (4) в (3) получаем:

${\displaystyle \delta A=R\mathrm {d} T\qquad (5)}$

Так как энергия одной молекулы равна ${\displaystyle <e>={\frac {i}{2}}kT}$ (6)[Комм 1][5], то и внутренняя энергия в целом и при изобарном процессе будет определяться по соотношению (1). Следовательно, подставляя уравнения (1) и (5) в (2) получаем соотношение Майера.

Молекулярно-кинетическая теория позволяет вычислить значения молярной теплоёмкости для классического идеального газа газов через значение универсальной газовой постоянной исходя из уравнения (6) и предположения, что молекулы газа не взаимодействуют между собой[5]:

• для общего случая ${\displaystyle C_{p}={\frac {i+2}{2}}R,}$
• для одноатомных газов ${\displaystyle C_{p}={\frac {5}{2}}R,}$ то есть около 20.8 Дж/(моль·К);
• для двухатомных газов и многоатомных газов с линейными молекулами[Комм 2] ${\displaystyle C_{p}={\frac {7}{2}}R,}$ то есть около 29.1 Дж/(моль·К);
• для многоатомных газов с нелинейными молекулами[Комм 2] ${\displaystyle C_{p}=4R,}$ то есть около 33.3 Дж/(моль·К).

Теплоёмкости можно также определить исходя из уравнения Майера, если известен показатель адиабаты, который можно измерить экспериментально (например, с помощью измерения скорости звука в газе или используя метод Клемана — Дезорма).

Теплоёмкость реального газа может значительно отклонятся от теплоёмкости идеального газа. Так при температуре в 25 °С и атмосферном давлении атомарный водород имеет теплоёмкость 2,50R , а атомарный кислород — 2,63R. Также теплоёмкость реального газа зависит от температуры[5].